Moto parabolico con attrito viscoso

il_grossista · Messaggio da **il_grossista** » 17 nov 2009, 17:44

Ciao tutto, come posso risolvere questo problema:

Moto parabolico
Un oggetto di 100gr viene lanciato con un angolo di 45° a una velocità iniziale di 300m/s
Attrito viscoso laminare b=0.01
Calcolare equazione del moto e gittata.

MrTeo · Messaggio da **MrTeo** » 17 nov 2009, 22:04

Se l'attrito è laminare la relazione tra forza e velocità, se non ricordo male, dovrebbe essere del tipo

$\vec F = - \beta \vec v$

Con un po' di conti ottengo ( $\alpha_i$ è l'angolo della velocità con l'asse x del nostro sistema di riferimento centrato nell'origine nell'istante considerato)

$\begin{array}{l} a_{contraria} = \frac{F}{m} = \frac{{\beta v}}{m} \\ v_x \left( t \right) = v_{x0} - \frac{{\beta v_x \left( t \right)}}{m}\cos \alpha _i t \\ v_x \left( t \right) = \frac{{v_{x0} }}{{1 + \frac{{\beta \cos \alpha _i t}}{m}}} \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} v_y \left( t \right) = v_{y0} - \left( \frac{{\beta v_y \left( t \right)}}{m}+g \right) \sin \alpha _i t \\ v_y \left( t \right) = \frac{{v_{y0} }}{{1 + \frac{{\beta \sin \alpha _i t}}{m}}+g} \\ \alpha _i = \arctan \frac{{v_y \left( t \right)}}{{v_x \left( t \right)}} \\ \end{array}$

Integrando le velocità (vado a naso, a dire il vero

) dovremmo ottenere l'equazione del moto... aspetto conferme e la conclusione dell'esercizio

pascal · Messaggio da **pascal** » 17 nov 2009, 22:49

L’accelerazione $\vec a =-B \vec v+ \vec g$ si scompone sugli assi x (orizzontale) e y (verticale verso l’alto):

$a_x=-B v_x$

$a_y=-Bv_y-g$

dove B=b/m
Le due equazioni integrate due volte rispetto al tempo forniscono $v_x$ , $v_y$ , x, y in funzione dei parametri iniziali e di t.
Per la gittata occorre imporre y=0, ma l’equazione in t risulta risolvibile soltanto con metodi approssimati. Però analizzando la y(t) con i dati del problema, si osserva che la sua parte esponenziale nel tempo si estingue dopo alcuni secondi e rimane il termine lineare, che ci consente di ricavare t da sostituire in x(t).

pascal · Messaggio da **pascal** » 18 nov 2009, 9:39

Inizialmente nella traccia ho notato un valore di b=1 e non mi sembra una mia disattenzione, in seguito ho trovato un b=0,01. Comunque il procedimento per ottenere le equazioni del moto rimane invariato, invece la risoluzione di y = 0 con metodi approssimati, per b = 0,01 $kg s^{-1}$ , deve contemplare anche la parte esponenziale.

il_grossista · Messaggio da **il_grossista** » 18 nov 2009, 18:59

alcuni ragazzi in classe lo hanno impostato in questo modo secondo voi va bene?

x: -b*vo*cos(alfa)=m*a
y: -b*vo*sin(alfa)-mg=m*a

hanno considerato le accelerazioni come le derivate delle velocità sui propi assi e sono uscite 2 equazioni differenziali.

pascal · Messaggio da **pascal** » 18 nov 2009, 20:13

Ma le velocità $v_0$ e gli angoli $\alpha$ devono essere sostituiti dai loro valori istantanei. Per eliminare l’angolo variabile conviene procedere per componenti. Si hanno due equazioni differenziali: una per $v_x$ e l’altra per $v_y$ risolvibili. Dalle espressioni di $v_x$ e $v_y$ si giunge alle formule per x e y con successiva integrazione.

il_grossista · Messaggio da **il_grossista** » 18 nov 2009, 20:21

nel modo che prima ho scritto si procede per componenti, la v0 velocità iniziale per il coseno dell'angolo da la componente della velocità su x e per il seno su y.

pascal · Messaggio da **pascal** » 18 nov 2009, 20:55

La resistenza del fluido non agisce soltanto all’inizio, ma in tutto il percorso e perciò occorre la componente istantanea della velocità. Per esempio

$a_ x= dv_x/dt=-Bv_x$

$dv_x/v_x=-Bdt$

$\int_{v_{0x}}^{v_x} \frac{dv_x}{v_x}= \int_{0}^{t} (-B)\, dt$

$Ln(v_x/v_{0x})=-Bt$

$v_x=v_{0x}e^{-Bt}$

Al fluire del tempo la resistenza viscosa, unica forza orizzontale, riduce in modo esponenziale la componente $v_x$ della velocità fino all’annullamento per t sufficientemente grande.

il_grossista · Messaggio da **il_grossista** » 18 nov 2009, 23:33

Grazie sto iniziando a capire, invece per la componente Vy come si calcola?
In fine per calcolarsi il tempo come si può procedere?

pascal · Messaggio da **pascal** » 19 nov 2009, 16:37

Hai ragione perché il problema rientra tra quelli complessi di fisica I (livello universitario); presumo che tu frequenti l’ultimo anno della scuola superiore e perciò devi ancora acquisire alcune tecniche di analisi matematica. Nel sito spesso vengono presentati problemi insoliti che richiedono minore formalismo, ma che sono altrettanto (o più) difficili del presente.

Con la posizione $Bv_y+g=u_y$ , si ha $B \, dv_y=du_y$ e l’equazione

$-(Bv_y+g)=a_y$ diventa

$\frac{du_y}{u_y}=-B \, dt$ che si integra come la componente x.

Risulta $u_y=u_{0y} \,e^{-Bt}$ da cui

$v_y=(v_{0y}+g/B) e^{-Bt}-g/B$

Discende che per t=0, $v_y=v_{0y}$ come imposto.
Il termine esponenziale decresce col tempo e al limite, per t elevato, si ha $v_y=-g/B$ ; ciò avviene perché nella fase terminale il peso viene equilibrato dall’attrito viscoso: $-mg - bv_y=0$ .
Ora cerca di proseguire con le altre richieste.

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