Sfera carica omogenea

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Timmo
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Sfera carica omogenea

Messaggio da Timmo » 22 set 2009, 20:02

Piccola variazione sul tema (togliendo qualche suggerimento) di un problema scolastico (ovvero trovato sul mio libro delle superiori).

Una sfera carica omogenea di raggio R=1,0 m e Q= -0,5 C è attraversata da un foro che la percorre lungo un diametro; il foro è particolarmente piccolo e non modifica le proprietà elettriche della sfera. Una carica q=2,8 mC di massa m=3,0 x kg viene appoggiata all'imboccatura del foro.
Descrivere il moto della carica appoggiata.

Stardust
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Re: Sfera carica omogenea

Messaggio da Stardust » 22 set 2009, 21:18

La sfera è carica in maniera omogenea, quindi rispetta la legge di Gauss per la simmmetria sferica.
In realtà quando la particella q si trova all'interno del solido con il foro, su di essa non si esercita alcuna forza
(2° teorema dello strato sferico), quindi resta in stato di quiete o in moto rettilineo uniforme.
Non riesco però a capire cosa succeda alla particella quando si trova sulla superficie, all'inizio del foro. In questo punto dovrebbe essere applicata una forza pari a
,
in cui E è il campo elettrico generato da Q sulla superficie ed esternamente ad essa.
Ciò ovviamente implica un'accelerazione, che però a mio avviso si effettua
solo per un brevissimo istante prima che il baricentro della particella carica penetri nel foro
(supponendo che il suo baricentro sia allineato con l'inizio della cavità).
A prima vista ho quindi l'impressione che la particella si muova in maniera praticamente impercettibile,
o rimanga del tutto ferma.
Ho appena iniziato l'elettrostatica, quindi non so quanto siano valide le mie conclusioni.
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Stardust
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Re: Sfera carica omogenea

Messaggio da Stardust » 23 set 2009, 7:24

Ok, ho commesso un grossolano errore nell'interpretazione della traccia, considerando una cavità ben più ampia di quella data dal problema.
Dato che la notte porta consiglio, il discorso mi sembra simile a quello di un corpo che si muove attraverso un foro all'interno del pianeta, da un polo all'altro.
La carica Q ha una distribuzione volumica d pari a
.
Quidi la forza che si esercita cambia man mano che si penetra nella sfera, rendendo il valore R più piccolo (converrà chiamarlo x) e diminuendo la quantità di carica che effettivamente agisce sulla q, in quanto la carica dello strato sferico esterno alla posizione assunta dalla carica non esercita alcuna influenza. Ciò significa:
.
Ovvero:
.
Quindi:
.
Possiamo scrivere:
.
Sembra proprio di trovarsi di fronte ad un moto armonico, con
.
Conosciuta la pulsazione o frequenza angolare
posso azzardare una legge oraria per il moto armonico, ponendo l'ampiezza massima di oscillazione pari a :
.
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Timmo
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Re: Sfera carica omogenea

Messaggio da Timmo » 23 set 2009, 21:01

Ok.......quando hai fatto la considerazione sull'oscillazione penso che si possa semplicemente dire che si muove di moto armonico di periodo T=....
Quindi:
Calcolare il periodo dell'oscillazione (qui è la parte carina di un problema altrimenti sui generis...) senza ricorrere all'equazione del moto o alla velocità angolare :)

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Rigel
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Re: Sfera carica omogenea

Messaggio da Rigel » 24 set 2009, 20:45

L'espressione della forza diventa, sostituendo il valore di d trovato da Stardust
, dove considero le cariche in valore assoluto.
l'espressione in frazione è una specie di costante elastica e quindi il periodo è
:o
Una bonus question potrebbe essere fare la stessa cosa con la gravitazione e i dati della Terra:

Timmo
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Re: Sfera carica omogenea

Messaggio da Timmo » 26 set 2009, 20:21

Rigel ha scritto:...l'espressione in frazione è una specie di costante elastica e quindi il periodo è
:o
Intendevo esattamente quello... :) (anche il risultato numerico è giusto)....

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