UDINE 08-09 Problema2

MrTeo · Messaggio da **MrTeo** » 30 ago 2009, 18:42

Sembrano entrambi decisamente più accessibili della controparte pisana

Proviamo con questo (mi pare anche abbastanza noto, almeno nella sua versione in cui il canale attraversa il centro...):

1.
$F_r = G\frac{{\frac{{4M}}{{3R}}\pi r^3 m}}{{r^2 }} = G\frac{{4M}}{{3R}}\pi rm$

2.
$F\left( x \right) = G\frac{{4M}}{{3R}}\pi \sqrt {a^2 + x^2 } \frac{x}{{\sqrt {a^2 + x^2 } }}m = G\frac{{4M}}{{3R}}\pi xm$

3.
$a\left( x \right) = - G\frac{{4M}}{{3R}}\pi x = - \omega ^2 x$

Quest'ultimo fatto penso basti a farci dire che il moto in questione è armonico, di periodo $\frac{2 \pi}{\omega}$ e il variare del parametro a non influenza l'intensità della forza in direzione della canaletta, ma solo quella radiale. Una possibile bonus question potrebbe essere: in presenza di un coefficiente d'attrito $\mu$ , qual è il rapporto tra il tempo impiegato a fermarsi nel caso di una canaletta passante per R/4 ed una passante per R/2?

antosecret · Messaggio da **antosecret** » 30 ago 2009, 18:55

Una domanda: A parte il caso specifico che viene semplice perchè l'accelerazione dipende linearmente da x, è possibile ricavare una legge oraria in funzione del tempo t a partire da una legge sull'accelerazione in funzione dello spazio???
(Che è poi il motivo principale per cui ho postato il problema, oltre che per controllare la correttezza della mia soluzione)

MrTeo · Messaggio da **MrTeo** » 30 ago 2009, 19:10

Bè, direi di sì... considerato che è un moto armonico possiamo scrivere:

$\begin{array}{l} x\left( t \right) = x_{\max } \cos \left( {\omega t + \phi } \right) \\ x\left( t \right) = \sqrt {R^2 - a^2 } \cos \left( {\sqrt {G\frac{{4M}}{{3R}}\pi } t + \frac{\pi }{2}} \right) \\ \end{array}$

Ho messo una fase di π/2 per indicare che si parte da un estremo e non dal centro... Questa legge in realtà è standard per il moto armonico, quindi non è ricavata dall'accelerazione ma da una proiezione di un moto circolare uniforme sul diametro (o per chi ha più pazienza dalla soluzione di un'equazione differenziale che è la definizione del moto... mi pare)

Edit: Sviluppando in effetti si vede che il parametro a influenza l'ampiezza del moto...

Messaggio da **Pigkappa** » 30 ago 2009, 22:03

antosecret ha scritto: è possibile ricavare una legge oraria in funzione del tempo t a partire da una legge sull'accelerazione in funzione dello spazio???

$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} = f ( x )$

$\displaystyle \frac{dv}{dt} = f ( x )$

$\displaystyle \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = f ( x )$

$\displaystyle v \frac{dv}{dx} = f ( x )$

$\displaystyle v dv = f ( x ) dx$

Integrando arrivi a qualcosa come:

$\displaystyle v = g(x)$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = g(x)$

$\displaystyle \frac{dx}{g(x)} = dt$

Integrando ancora ottieni una relazione tra la posizione e il tempo.

antosecret · Messaggio da **antosecret** » 31 ago 2009, 16:39

Potresti farmi vedere dove sbaglio per favore??

Proviamo con una funzione del tipo $a(x)=k\cdot x$ .

Dovrebbe essere
$v\cdot dv = a(x)\cdot dx \rightarrow \int vdv =\int kxdx$
$v^2 = k\cdot x^2$
$v = \sqrt{ k}\cdot x$

Ma già questa è molto diversa dalla formula della velocità per il moto armonico...

Messaggio da **Pigkappa** » 31 ago 2009, 17:13

Prova a vedere cosa viene se metti delle condizioni iniziali un po' più interessanti di $x_0 = 0$ e $v_0 = 0$ (in questo caso il corpo starà sempre fermo nell'origine...), penso che il problema consista in questo.

Dimmi se in questo modo viene quello che ti aspetti (non so cosa intendi con "formula della velocità del moto armonico"...).

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