Sull'altalena, da soli..... Senigallia 1991

[Timmo]

Per cercare di re-interrompere la lista di sns posto un problema carino e non difficile.

"E' noto che per raggiungere una grande ampiezza di oscillazione in altalena, senza farsi spingere da qualcuno, si può ricorrere a movimenti delle gambe (e del corpo) fatti al momento opportuno. In realtà questi movimenti provocano una variazione del momento di inerzia rispetto al centro di oscillazione e non spostano - praticamente- il baricentro
Si supponga che si possano stabilire due valori del momento di inerzia, I ed I' (con I>I') e che i cambiamenti - istantanei - avvengano in corrispondenza delle posizioni A, O, B di ogni oscillazione come in figura A "

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1)Stabilire dove devono avvenire i cambiamenti del momento di inerzia da I a I' e viceversa, in modo che l'ampiezza di oscillazione aumenti. Motivare le affermazioni fatte.
2)Descrivere con cura tutte le trasformazioni di energia che avvengono durante una oscillazione.

Si supponga ora che, in un caso particolare la persona parta da ferma dal punto A e le grandezze abbiano i seguenti valori numerici.

Lunghezza altalena: 3m(distanza del baricentro del sistema dal sostegno dell'altalena
Massa persona 50 kg
Quota del punto A rispetto ad O: h=0,5 m
Valori del momento di inerzia I=450 kg I'= 445,5 kg

3)A che altezza risale al suo primo ritorno in A?
4)Quante oscillazioni complete si devono compiere per raggiungere una quota rispetto a quella di O?

Una prova sperimentale così sarebbe divertente...

[spn]

Con tutti questi sns in giro mi sembra brutto lasciare questo simpatico problemino...vado con la mia soluzione.

1) Siano ed l'energie cinetiche rotazionali prima e dopo l'n-esima variazione del momento d'inerzia. Per la conservazione del momento angolare:





Quindi, essendo, se la variazione è allora l'energia cinetica rotazionale aumenta, se la variazione è diminuisce. Però nei punti A e B è gia nulla (essendo nulla ), percui non può diminuire ulteriormente. Allora per aumentare l'energia del sistema, e quindi l'altezza che raggiungerà l'altalena, la variazione deve essere fatta nei punti A e B, e in O.

2) Come si è visto, nei punti A e B l'energia cinetica è sempre nulla, percui non varia. Mentre nel punto O il lavoro fatto per diminuire il momento d'inerzia viene trasformato in energia rotazionale.

3)Usando il metodo detto prima, l'altalena parte dal punto A con momento d'inerzia .Per la conservazione dell'energia e del momento angolare:










O più generalmente:



dove n è il numero di oscillazioni complete. Per una oscillazione si ha:



4)


Non uso la massa della persona...possibile?
p.s. auguri timmo!

[Timmo]

...Ok tutto giusto...secondo me non usi la massa della persona perchè in un certo senso è già compresa nel momento di inerzia, probabilmente è un dato in più per confondere le idee...

p.s.
Grazie!

[Hope]

dove n è il numero di oscillazioni complete. Per una oscillazione si ha:

perche è 2n all esponente?come si ricava?

[spn]

Allora, l'equazione significa che dopo ogni volta che l'altalena va da A a B l'altezza raggiunta diventa volte quella in A, e ugualmente quando va da B ad A. Percui l'altezza raggiunta dopo spostamenti del tipo o è . Siccome il numero di oscillazioni complete è allora si ha quell'eq. lì.