Scusate se propongo questa questione già parzialmente affrontata in precedeanza.
Supponiamo che un corpo di massa m e velocità v0 urti elasticamente un altro corpo di massa M inizialmente fermo. Trovare i massimi valori delle velocità dopo l'urto.
Per risolvere questa situazione ho usato delle considerazioni geometriche: scrivendo la conservazione dell'energia, ho
da cui
.
Quest'espressione rappresenta un'ellisse in cui:
e .
Operando la dilatazione che trasforma:
con t e u variabili del nuovo sistema di coordinate, si ottiene una circonferenza di equazione:
Il punto della nuova circonferenza in cui si hanno i valori massimi di t e u sono per:
.
Sfruttando la dilatazione ottengo infine:
.
A me sembrano piuttosto strani come risultati ,ma vi prego controllate ciò che ho scritto!
urto e velocità massime
Re: urto e velocità massime
Innanzitutto devi chiarire cosa intendi per massimi valori. Che (praticamente) la somma dei loro moduli sia massima?
Re: urto e velocità massime
si si intendevo quanto hai detto!
Re: urto e velocità massime
Allora:
Dalla conservazione della quantità di moto si ha:
e
Dalla conservazione dell'energia si ha
Dalla e dalla ottengo
e
Da cui dividendo membro a membro
e quindi
Da cui
adesso vado a fare un po' di italiano...continuo dopo...
Dalla conservazione della quantità di moto si ha:
e
Dalla conservazione dell'energia si ha
Dalla e dalla ottengo
e
Da cui dividendo membro a membro
e quindi
Da cui
adesso vado a fare un po' di italiano...continuo dopo...
Re: urto e velocità massime
Ho provato a risolverlo analiticamente ma mi è venuta una roba molto grossa, magari ho sbagliato un calcolo ma non credo..Solimano ha scritto: ma vi prego controllate ciò che ho scritto!
Ad ogni modo il tuo procedimento è sì bello, ma mi sembra un po' azzardato e con passaggi che non hai giustificato minimamente (ad esempio perchè t=u ? e qualè il significato di trovare il massimo con quella circonferenza?).
Puoi comunque risolvere analiticamente e vedere se trovi riscontro geometricamente, ma devi comunque giustificare i passaggi, penso.
EDIT: Ah, e poi credo che tu debba comunque tener conto della conservazione della quantità di moto, perchè con sola l'energia potresti ottenere risultati fisicamente non validi (esempio: con M diverso di m).
Re: urto e velocità massime
Come mi avevi giustamente sottolineato, il mio scopo è trovare i valori delle velocità tali da rendere la loro somma massima.
Nel sistema (t;u) la funzione che esprime la somma è data da
(dove considero solamente la semicirconferenza posta nel semipiano di u positivo).
Il massimo di tale funzione si ottiene per:
da cui (considerando solamente il valore positivo)
.
Poichè ho , ho
Ora volevo chiedervi anche quali dei valori ottenuti dalla funzione della somma (cioè quelli dati dalla semicirconferenza positiva e da quella negativa) devo prendere in considerazione
Nel sistema (t;u) la funzione che esprime la somma è data da
(dove considero solamente la semicirconferenza posta nel semipiano di u positivo).
Il massimo di tale funzione si ottiene per:
da cui (considerando solamente il valore positivo)
.
Poichè ho , ho
Ora volevo chiedervi anche quali dei valori ottenuti dalla funzione della somma (cioè quelli dati dalla semicirconferenza positiva e da quella negativa) devo prendere in considerazione
Re: urto e velocità massime
Ecco l'erroreSolimano ha scritto: Nel sistema (t;u) la funzione che esprime la somma è data da
Secondo quanto hai scritto sopra si ha:
Il massimo di è diverso dal massimo di
Grazie alla circonferenza possiamo trovare in funzione di () quindi otteniamo .
Il massimo mi viene per
Quindi le velocità:
Si vede che ovvero che i moduli della quantità di moto dei due corpi dopo l'urto sono uguali.
Riprendendo le equazioni di Alex90:
Dalla (2) emerge quindi che
Dalla (1) vediamo che:
Si ottiene quindi:
Controllando questo problema: olifis/phpBB3/viewtopic.php?f=12&t=88 si può considerare la disuguaglianza:
che, sfruttando le limitazioni del seno e del coseno porta a:
Invece senza la limitazione credo si avrebbe
Come vedi la quantità di moto deve pur rientrarci altrimenti potresti avere risultati irreali.
Spero di non aver fatto errori di calcolo..
Re: urto e velocità massime
GIUSTO!!!!!!!! Grazie mille Avevo scritto una boiata!!