Pallina su una semisfera

[Fedecart]

Esatto. Meglio la forza centripeta per un dato angolo .
Ora sostituisci questo nel bilancio delle forze, che era il primo punto della scaletta, e poi cerca per quale angolo accade un assurdo.
Se scrivi anche formule posso aiutarti meglio che a parole.

[giapippa]

ma la forza centripeta non è sempre uguale e opposta alla forza centrifuga?

[t4ilgr4b]

Io ho provato a risolverlo eguagliando la forza centrifuga alla componente radiale della forza peso e usando la conservazione dell'energia per riscrivere la velocità tangenziale. Come risultato può essere un ?

[Fedecart]

ma la forza centripeta non è sempre uguale e opposta alla forza centrifuga?

Si, ma non capisco cosa c'entra ora. La forza centrifuga esiste solo se tu sei in un sistema di riferimento non inerziale. In questo caso per percepirla dovresti essere a cavallo della pallina, ad esempio. Tuttavia conviene di molto fare il problema nel sistema di riferimento del suolo, che con ottima approssimazione è inerziale. Allora non esiste nessuna forza centrifuga.

Ti ripeto, se provi a postare formule posso aiutarti in modo più diretto.

[Fedecart]

Io ho provato a risolverlo eguagliando la forza centrifuga alla componente radiale della forza peso e usando la conservazione dell'energia per riscrivere la velocità tangenziale. Come risultato può essere un ?

Ci sei quasi ma dovrebbe essere un coseno. Controlla se hai fatto giusta la trigonometria quando hai scritto le componenti delle varie forze, credo ci sia una svista li. Oppure potrebbe essere giusto, dipende da dove hai misurato . Che angolo è? E in ogni caso, ripeto, la forza è centripeta.
Perchè il risultato è proprio quello? Cioè, come mai hai annullato la forza normale?

[t4ilgr4b]

Io ho provato a risolverlo eguagliando la forza centrifuga alla componente radiale della forza peso e usando la conservazione dell'energia per riscrivere la velocità tangenziale. Come risultato può essere un ?

Ci sei quasi ma dovrebbe essere un coseno. Controlla se hai fatto giusta la trigonometria quando hai scritto le componenti delle varie forze, credo ci sia una svista li. Oppure potrebbe essere giusto, dipende da dove hai misurato . Che angolo è? E in ogni caso, ripeto, la forza è centripeta.
Perchè il risultato è proprio quello? Cioè, come mai hai annullato la forza normale?

Ah mi sono accorto di aver preso come alpha l'angolo fra il centro-pallina e l'orizzontale, non avevo letto la vostra convenzione! Perchè la forza è centripeta? Se io guardo un sistema non inerziale da uno inerziale la forza non dovrebbe essere opposta all'accelerazione? (Perdonami se dico nelle enormi cazzate :O) Ho annullato la forza normale perchè la forza normale subentra quando la differenza fra la forza peso radiale e la forza centrifuga è diversa da zero, cioè, se mg radiale è maggiore della forza centrifuga allora esiste una reazione vincolare, altrimenti no.

[Ariz]

Allora...ho fatto come dici tu federcart:



perciò :
dove h e V sono l'altezza e la velocità finale (quandola pallina si stacca)

perciò:

cioè
Che c'è di sbagliato...cavolo non capisco.

[Fedecart]

A t4ilgr4b. Con la tua convenzione sull'angolo il tuo risultato è corretto. Credo anche che il tuo ragionamento complessivo sia corretto. Tuttavia, essendo questo un problema MOLTO facile rispetto agli standard delle olimpiadi (fase regionale in su) e dei vari test di ammissione nei vari posti, ci tenevo a far chiarezza su alcuni punti.

Riguardo alla forza centrifuga/centripeta.
Se io osservatore sto in un sistema di riferimento inerziale (quello del suolo nel problema) allora le forza fittizie (centrifuga, trascinamento, coriolis etc) non esistono. Se da questo sistema osservo un oggetto puntiforme muoversi su una traiettoria circolare allora so per certo che la risultante di tutte le componenti radiali delle varie forze è centripeta, e di modulo



Il fatto che la risultante sia centripeta e di tale modulo è un pò la condizione che un punto materiale deve soddisfare per stare in moto circolare.
In questo senso la forza centripeta va distinta dalle altre forze. Non ha esistenza propria, è piuttosto la somma di tutte le altre.

Risolvo ora io il problema cercando di motivare ogni passo. Poi ditemi se ho chiarito le cose.
Uso come angolo tra il segmento centro-palla e la verticale, e come direzione dell'asse radiale quella diretta verso il centro.
Suppongo (erroneamente) che la pallina stia sempre attaccata alla semisfera, e cerco un assurdo.
Poichè essendo attaccata alla semisfera fa un moto circolare la risultante delle forze radiali è centripeta.

Il bilancio delle forze radiali, per un dato angolo è



Al LHS c'è la somma di tutte le componenti radiali: c'è la componente del peso, positiva perchè diretta verso il centro, e la normale, negativa perchè diretta fuori dal centro. Al RHS abbiamo la forza centripeta, positiva perchè diretta verso il centro: è centripeta.
Sappiamo che



da cui sostituendo



Bene. Ora devo ricavarmi la velocità. Osservo che in questo sistema si conserva l'energia. Come faccio a dirlo? Ci sono due modi. Il primo, standard, è che il sistema terra-semisfera è isolato. Le uniche forze, gravità e normale sono interne. Non ci sono interazioni di nessun tipo con cose al di fuori del sistema e non ci sono fughe di energia con attrito e simili. Allora l'energia si conserva.
Il secondo è un modo che non si vede mai alle superiori perchè più complesso (e profondo) e consiste nel fatto che il sistema è invariante per traslazioni temporali. Detta in parole povere (da prendere MOLTO con le pinze) siccome il sistema avrà la stessa evoluzione sia che io lo faccia partire oggi, sia domani, sia tra mille anni, allora l'energia si conserva.

Notato questo possiamo scrivere





da cui rivavo e sostituisco nella forza centripeta.

Ho ottenuto infine, dopo alcuni passaggetti algebrici e semplificazioni



Eh ma allora vedo subito che esiste un assurdo. Esiste un angolo per cui la normale si annulla e subito dopo diventa negativa!!. Non ha nessun senso che la normale sia negativa, che tiri in dentro la pallina. Devo allora aver cannato l'ipotesi iniziale, che dunque cade per l'angolo per cui .

Ponendo ricavo

[Ariz]

Grazie.

[Ariz]

A t4ilgr4b. Con la tua convenzione sull'angolo il tuo risultato è corretto. Credo anche che il tuo ragionamento complessivo sia corretto. Tuttavia, essendo questo un problema MOLTO facile rispetto agli standard delle olimpiadi (fase regionale in su) e dei vari test di ammissione nei vari posti, ci tenevo a far chiarezza su alcuni punti.

Riguardo alla forza centrifuga/centripeta.
Se io osservatore sto in un sistema di riferimento inerziale (quello del suolo nel problema) allora le forza fittizie (centrifuga, trascinamento, coriolis etc) non esistono. Se da questo sistema osservo un oggetto puntiforme muoversi su una traiettoria circolare allora so per certo che la risultante di tutte le componenti radiali delle varie forze è centripeta, e di modulo



Il fatto che la risultante sia centripeta e di tale modulo è un pò la condizione che un punto materiale deve soddisfare per stare in moto circolare.
In questo senso la forza centripeta va distinta dalle altre forze. Non ha esistenza propria, è piuttosto la somma di tutte le altre.

Risolvo ora io il problema cercando di motivare ogni passo. Poi ditemi se ho chiarito le cose.
Uso come angolo tra il segmento centro-palla e la verticale, e come direzione dell'asse radiale quella diretta verso il centro.
Suppongo (erroneamente) che la pallina stia sempre attaccata alla semisfera, e cerco un assurdo.
Poichè essendo attaccata alla semisfera fa un moto circolare la risultante delle forze radiali è centripeta.

Il bilancio delle forze radiali, per un dato angolo è



Al LHS c'è la somma di tutte le componenti radiali: c'è la componente del peso, positiva perchè diretta verso il centro, e la normale, negativa perchè diretta fuori dal centro. Al RHS abbiamo la forza centripeta, positiva perchè diretta verso il centro: è centripeta.
Sappiamo che



da cui sostituendo



Bene. Ora devo ricavarmi la velocità. Osservo che in questo sistema si conserva l'energia. Come faccio a dirlo? Ci sono due modi. Il primo, standard, è che il sistema terra-semisfera è isolato. Le uniche forze, gravità e normale sono interne. Non ci sono interazioni di nessun tipo con cose al di fuori del sistema e non ci sono fughe di energia con attrito e simili. Allora l'energia si conserva.
Il secondo è un modo che non si vede mai alle superiori perchè più complesso (e profondo) e consiste nel fatto che il sistema è invariante per traslazioni temporali. Detta in parole povere (da prendere MOLTO con le pinze) siccome il sistema avrà la stessa evoluzione sia che io lo faccia partire oggi, sia domani, sia tra mille anni, allora l'energia si conserva.

Notato questo possiamo scrivere





da cui rivavo e sostituisco nella forza centripeta.

Ho ottenuto infine, dopo alcuni passaggetti algebrici e semplificazioni



Eh ma allora vedo subito che esiste un assurdo. Esiste un angolo per cui la normale si annulla e subito dopo diventa negativa!!. Non ha nessun senso che la normale sia negativa, che tiri in dentro la pallina. Devo allora aver cannato l'ipotesi iniziale, che dunque cade per l'angolo per cui .

Ponendo ricavo

Ad un certo punto: ti sei scordato un


anche se in fondo poi non è rilevante nel ragionamento finale.