Pallina su una semisfera

[giapippa]

Una semisfera di raggio R = 30 è fissata sulla superficie
orizzontale di un tavolo. Una pallina viene posta sulla
sommità della semisfera ed inizia a scivolare verso il basso.

(a) Supponendo che la pallina scivoli senza attrito, si
trovi a quale altezza h dalla superficie del tavolo la
pallina si stacca dalla semisfera. In questa domanda
si tratti la pallina come un punto materiale che si
sposta senza ruotare.

(b) Nel caso in cui la pallina invece rotola senza
strisciare, si dica se l’altezza per cui avviene il
distacco è maggiore o minore di quella calcolata al
punto (a).

Ragionando a intuito senza i vari calcoli la pallina dovrebbe cadere a 45° quando la componente verticale e quella orizzontale della forza peso di equivalgono giusto?
Per quando riguarda il punto 2 come influisce il rotolamento? Dovrebbe essere maggiore l'angolo se non sbaglio...

[Ariz]

Per il rotolamento devi trovare il momento in cui c'è l'equilibrio tra la forza peso e la forza che agisce tramite il rotolamento sul centro di massa della pallina... cioè quando la forza dovuta all'accelerazione tangenziale è minore del peso...ma quando??(non penso si debba parlare del momento angolare.)

[giapippa]

quindi usando la formula dell'accelerazione di un corpo che rotola (sin / 1+qualcosa) = cos
come cambia l'angolo però?

[Ariz]

quindi usando la formula dell'accelerazione di un corpo che rotola (sin / 1+qualcosa) = cos
come cambia l'angolo però?

che formula è?? xD

[Fedecart]

Ragionando a intuito senza i vari calcoli la pallina dovrebbe cadere a 45° quando la componente verticale e quella orizzontale della forza peso di equivalgono giusto?

In realtà no, l'intuito a volte non è la cosa migliore da usare. Si stacca ad un angolo un pò più brutto.
Prova a fare bene il punto a), non è difficile.

La scaletta è questa:
Supponi (sbagliando) che il punto stia sempre attaccato al cerchio e lavora in termini dell'angolo che il segmento centro del cerchio-pallina forma con la verticale.
Un punto materiale che si muove su un cerchio ha sempre un'accelerazione diretta in un certo modo e dal modulo ben preciso. Quale?
In seguito ricava la quantità che ti manca usando un'importante legge di conservazione valida per questo sistema.
Infine sostituisci e trova a quale angolo si verifica un assurdo con la tua ipotesi iniziale.

la forza che agisce tramite il rotolamento sul centro di massa della pallina

Scusami, ma non capisco a che forza ti riferisci.
In ogni caso forse meglio fare un punto alla volta, visto che il secondo è una complicazione del primo!

[giapippa]

per il punto 1) bisogna eguagliare la componente verticale della forza peso alla forza normale che è la forza centripeta...?

[Fedecart]

No. La forza normale (da sola) non è la centripeta.
Se un corpo si muove su una traiettoria circolare la risultante di tutte le componenti radiali delle forze agenti è centripeta. Quindi io uguaglierei la somma della componente del peso e della forza normale all'espressione della forza centripeta.

E inoltre, non capisco cosa intendi con "componente verticale della forza peso". La forza peso è sempre verticale. Se la scomponi in verticale e orizzontale hai che una componente è l'intera forza e l'altra è nulla... Forse intendevi radiale!

[Ariz]

dico la forza normale che si oppone al peso....Però questo bilancio non è fedele perché la pallina rotola

Ragionando a intuito senza i vari calcoli la pallina dovrebbe cadere a 45° quando la componente verticale e quella orizzontale della forza peso di equivalgono giusto?

Scusami, ma non capisco a che forza ti riferisci.
In ogni caso forse meglio fare un punto alla volta, visto che il secondo è una complicazione del primo!

in ogni caso si..passiamo alla a.

[giapippa]

si intedevo radiale, verticale rispetto ad un piano passante per la tangente alla sfera!
Dunque risolvendo energeticamente mi trovo la velocità della pallina e quindi la forza centripeta ad una certa altezza?

[Ariz]

si intedevo radiale, verticale rispetto ad un piano passante per la tangente alla sfera!
Dunque risolvendo energeticamente mi trovo la velocità della pallina e quindi la forza centripeta ad una certa altezza?

Forse ci sono arrivato (spero)
Allora quando la forza centrifuga è maggiore di quella centripeta allora la pallina si stacca.
Perciò (facendo un'analisi delle forze)





Quando la sommatoria lungo l'asse x è 0 allora la pallina dovrebbe staccarsi...