Conducibilità termica

xXStephXx · Messaggio da **xXStephXx** » 20 gen 2012, 0:10

Abbiamo due oggetti con lo stesso spessore e il coefficiente di conducibilità termica di uno è $2k$ mentre il coefficiente di conducibilità termica dell'altro è $k$ . Se i due oggetti vengono accostati quanto vale il coefficiente di conducibilità termica del blocco complessivo?

Volevo solo sapere se va bene sommare i due calori e raddoppiare lo spessore che compare al denominatore.. (Ottenendo così $1.5k$ come risultato).

frank094 · Messaggio da **frank094** » 9 feb 2012, 13:27

Ciao xXStephXx, in realtà si può dimostrare facilmente che data una serie di lastre di diverso materiale la resistenza totale è data dalla somma delle singole resistenze ( definita come il rapporto tra il coefficiente di conducibilità termica e lo spessore ); questo vuol dire che il valore di $h$ non è proprio a metà .. analizziamo il caso $n = 2$ .

La prima lasta ha spessore $d$ e coefficiente di conducibilità termica $h_1 = k$ mentre la seconda lastra ha lo stesso spessore ma coefficiente di conducibilità termica $h_2 = 2 k$ . Gli estremi si trovano rispettivamente a temperatura $t_1$ e $t_2$ con $t_1 > t_2$ . Esprimiamo le quantità di calore che passano attraverso ciascuna lastra..

$Q_1 = \frac{h_1 S(t_1 - t) \Delta t}{d} \qquad Q_2 = \frac{h_2 S(t - t_2) \Delta t}{d}$

Poiché ci troviamo in regime stazionario deve essere $Q_1 = Q_2$ .. vediamo cosa succede:

$\frac{h_1(t_1 - t)}{d} = \frac{h_2(t - t_2)}{d}$

Ricaviamoci da questa la temperatura intermedia incognita $t$

$h_1 \cdot t_1 - h_1 \cdot t = h_2 \cdot t - h_2 \cdot t_2$

$t = \frac{h_1 \cdot t_1 + h_2 \cdot t_2}{h_1 + h_2}$

Sostituiamo quanto appena ricavato in una delle formule precedenti per la quantità di calore..

$Q = \frac{h_1 S \left(t_1 - \frac{h_1 \cdot t_1 + h_2 \cdot t_2}{h_1 + h_2} \right) \Delta t}{d}$

$Q = \frac{h_1 S \left(\frac{t_1 h_1 + t_1 h_2 - h_1 \cdot t_1 - h_2 \cdot t_2}{h_1 + h_2} \right) \Delta t}{d}$

$Q = \frac{h_1 h_2 S (t_1 - t_2) \Delta t}{d(h_1 + h_2)}$

Il nuovo coefficiente sarà così

$h_n = \frac{h_1 h_2}{h_1 + h_2} = \frac{2k^2}{3k} = \frac{2}{3}k$

Quindi quando ci troviamo di fronte a più lastre si ha che

$\frac{1}{h_t} = \frac{1}{h_1} + ... + \frac{1}{h_n}$

Ovviamente parliamo di lastre dello stesso spessore ma credo si arrivi ad un risultato analogo anche senza questa ipotesi.. che cosa ne dici?

xXStephXx · Messaggio da **xXStephXx** » 11 feb 2012, 1:39

Ok, grazie per la dimostrazione

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Re: Conducibilità termica

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