Sfera carica divisa

[Omar93]

un'altra cosa. Ma per le densità di q dei dischi?(a patto che valga quello scritto su)

[Pigkappa]

Up!

La soluzione proposta funzionerebbe, se non fosse che richiede conti proibitivi. C'è un modo semplice (ma non ovvio) per farlo.

[Omar93]

Dal tuo primo esempio si evince che a parità di carica più vicino sei più c'è forza. Si vede che la forza di A + B è circa quella di A,quindi lascio perdere B. Quindi se prendo la mia semisfera ho che i punti non appartenenti alla base(non tutti però...) esercitano una forza molto minore di quelli della base stessa.
Scrivo (abbiamo un conduttore) come campo elettrico della base nelle vicinanze.
Questo campo nelle sue vicinanze non ha una componente parallela alla base quindi posso scrivere: Forza esercitata da base 1 su base 2(e viceversa) è di modulo: ,dove è la denistà di carica della mia base.

[modesto]

La carica è distribuita sulla superficie sferica del conduttore ed il campo da essa generato su questa superficie è quello che si avrebbe se fosse concentrata nel centro. Il vettore elettrico è perpendicolare in ogni punto alla superficie. Considerata la zona sferica di altezza infinitesima la forza esercitata sulla carica di questa zona è ad essa perpendicolare e data dal campo per questa carica: le componenti orizzontali si elidono mentre rimangono le componenti verticali ottenibili moltiplicando per il seno dell'angolo a cui si trova la zona. Integrando fra zero e pigreco mezzi si trova la forza agente su una semisfera e diretta verso l'alto. Basta raddoppiarla per avere quella che dovremmo esercitare?
Se non ho sbagliato i conti risulta

e le due cariche si respingono come se fossero puntiformi e distanti R?

[modesto]

Risponderei di sì alla domanda di ieri. Infatti, se consideriamo la zona sferica infinitesima individuata dal raggio che forma un angolo con il raggio orizzontale dello stesso piano verticale, essa ha un'altezza ed una base cioè un'area uguale al loro prodotto. La densità superficiale di carica è e la quota a cui si trova la zona è . Per cui in maniera analoga alla determinazione del cdm possiamo determinare il centro di carica cdc, cioè quella quota tale che da cui la quota del cdc è . Quindi al fine della forza verticale, tutto va come se la carica della semisfera superiore fosse concentrata alla quota e quella uguale della semisfera inferiore alla quota : la forza di interazione coulombiana fra loro sarebbe proprio la trovata e questo sarebbe forse un altro modo di affrontare e risolvere il problema.

[Pigkappa]

Dal tuo primo esempio

I miei esempi servivano a farvi capire che non è vero che si può sempre sostituire una distribuzione di cariche con una sola carica posta nel suo centro di massa. Nient'altro. Non provate ad usarli per risolvere questo problema.

quello che si avrebbe se fosse concentrata nel centro.

Questo vale solo al di fuori della sfera. E non puoi usare quel campo sui punti della sfera stessa, che non sono nè dentro nè fuori.


State dicendo cose che mi paiono molto, molto false °_°.

[frafratte]

Ho una mezza idea, provo anche io xD
Sappiamo che la carica totale è q, quindi dividendo la sfera in due semisfere, in ciascuna parte la carica totale dovrebbe essere q/2. A questo punto quando le due semisfere sono a contatto le cariche che sono all'interno si respingono e si posizionano ai poli della propria semisfera, ad una distanza 2R che è la massima distanza che possono assumere. La forza di Coulomb è F = [k0*(q/2)*(q/2)]/4R^2, ovvero
F = (k0*q^2)/16R^2, ed è la forza che devo esercitare su ciascuna semisfera affinchè queste rimangano unite.
Il risultato è simile a quello di modesto, solo che non avendo ancora studiato le integrali ho dovuto giustificarlo diversamente.

[Pigkappa]

Visto che sono passate due settimane dall'inizio e non ho visto grandi soluzioni, vi voglio far vedere almeno un modo di farlo.

Usiamo un metodo straightforward: la forza è l'integrale del campo elettrico sulle cariche. Cioè:


Chi non sa cosa sono gli integrali, può immaginare che questa sia una somma sui tanti elettroni liberi che danno la carica totale alla sfera. Però non so se riuscite a seguire il seguito, temo di no.

Chiamo il campo prodotto da tutta la sfera, quello prodotto dalla metà di sopra, quello prodotto dalla metà di sotto.
Prima cosa da notare: il testo ci chiede la forza che la metà di sotto esercita sulla metà di sopra. Quindi dovremmo calcolare solo il campo elettrico dovuto alla semisfera di sotto, e questo richiede un calcolo terrificante.

Tuttavia, possiamo ragionare un po' e notare che invece che quel campo, possiamo usare il campo prodotto da tutta la sfera. Questo perchè la forza totale che la semisfera superiore esercita su se stessa è zero. Quindi se aggiungiamo il campo facciamo un integrale diverso, ma poi il risultato finale è lo stesso, perchè abbiamo aggiunto una forza che complessivamente è nulla. Quindi possiamo fare il conto direttamente con che è la somma dei due campi, e troveremo il risultato giusto.
Per inciso, vi faccio notare che le considerazioni scritte qua sopra si devono fare; se usate direttamente facendo finta di niente (o dicendo qualcosa di poco chiaro sul fatto che il sistema è equivalente ad una carica messa da qualche parte), non state scrivendo una buona soluzione.

Quindi, dobbiamo calcolare sulla metà di sopra. Intanto scriviamo il campo. A distanza dal centro è:

Mentre a distanza minore di R è nullo. E questo è un problema, perchè noi vogliamo usarlo sulla superficie sferica, e quindi proprio a distanza ; non sappiamo il campo in quel punto esatto, ed ovviamente c'è qualcosa da sistemare, perchè il campo che abbiamo scritto prima sembra discontinuo in quel punto. Per aggirare questo ostacolo bisogna ingegnarsi un po' oppure aver già visto dei problemi simili a questo (ed ovviamente si spera di essere nel secondo caso, ma per alcuni di voi è ragionevole che ancora non sia così).

C'è un simpatico risultato che ci si ricorda in questi casi: se subito dentro la sfera ho campo nullo e fuori ho campo , è come se agisse sulla sfera un campo effettivo . Ci sono diversi modi più o meno furbi per dimostrarlo; ve ne faccio vedere uno diretto e un po' noioso. Mi sembra ce ne sia uno più astuto che vi lascio cercare da soli.
Suppongo simmetria sferica e tutto quello che vale nel nostro problema. Uso la legge di Gauss nella forma ; lo so che non la usate in genere in questa forma, ma dovreste riuscire a ricavare questa espressione facilmente.
Consideriamo un piccolo elemento di superficie e vogliamo la forza che lo spinge verso il fuori. La carica non sarà realmente su una superficie ma avrà una piccola estensione spaziale; facciamo quindi un integrale di volume (lo avevo scritto anche sopra) invece che di superficie. Immaginiamo che il raggio vari da a . Allora:




Mettiamo e di nuovo per la legge di Gauss ci accorgiamo che la carica dell'elemento di superficie è . Allora:

Che è quello che volevo dimostrare.

Adesso si può finalmente fare quello che avete detto molte volte, ovvero scriviamo la forza su un elemento di superficie, consideriamo solo il termine lungo (versore che parte dal centro e passa dal vertice della semisfera superiore), e integriamo. Dividendo la semisfera in strisce orizzontali e sperando di non aver sbagliato i conti mi viene , che mi sembra diverso da tutti i vostri risultati.



Una variante del problema, che non coinvolge la difficoltà del campo elettrico da usare alla superficie, riguarda una sfera con carica uniforme anche all'interno.

Capisco che questa soluzione possa non sembrare "elementare con pochi conti" alla maggior parte di voi, ma c'erano un po' di trucchetti da aver visto; una volta che uno li sa, il problema è molto facile, ma quando li deve ancora vedere ci vuole un po' di inventiva per tirarli fuori.

A questo punto quando le due semisfere sono a contatto le cariche che sono all'interno si respingono e si posizionano ai poli della propria semisfera

Non hai capito il problema; "immaginando la sfera suddivisa in due" non vuol dire "tagliamo a metà la sfera".


Inoltre, nel problema che hai provato a risolvere tu, le cariche non si posizionerebbero tutte ai poli delle due semisfere, ma resterebbero esattamente ferme come nel caso della sfera unica. Tra due conduttori a contatto ed un unico grande conduttore non c'è differenza.

Concludo dicendo che ho già letto il problema da qualche parte ma che ancora non ho capito come affrontarlo in modo semplice. Una soluzione del problama b. sarebbe il metodo della carica immagine, che ovviamente non so usare XD Per cui chiedo a Pigkappa un suggerimento vago che non risolva il problema ma mi illumini sul modo di procedere!
Grazie =)

Non sono fresco di elettromagnetismo, anzi, mi sono scordato un po' tutto (e la pagherò cara prima o poi ). Comunque, da quello che ricordo sulle cariche immagine, non vedo come le si potrebbe usare per questo problema. Costruire la carica immagine nel caso di una semisfera deve essere una cosa piuttosto antipatica; viene bene nel caso di piani conduttori, abbastanza bene per sfere conduttrici, e male per quasi tutto il resto...

[modesto]

Il risultato che avevo postato il 15, è vero, è diverso ma non troppo: il 16 a denominatore anzichè il 32 di pigkappa deriva dal fatto che (sbagliando) avevo considerato il campo coulombiano immediatamente esterno e non il (trucco suggerito da pigkappa) valor medio fra l'esterno e l'interno(nullo). Ma i miei conti ritengo che fossero più semplici.
Tuttavia esiste un modo di affrontare e risolvere il problema che, secondo me, è più brillante. Era la prima idea che avevo avuto e che non avevo postato perchè il risultato era appunto metà di quella postata il 15 che ritenevo (erroneamente) giusta.
LA FORZA CHE BISOGNA ESERCITARE E' QUELLA CHE CI SAREBBE FRA LE ARMATURE SEMISFERICHE DI UN CONDENSATORE CON CARICHE E .
In tal caso le linee di forza del campo sono tutte fra le armature ed il campo vale . Se è la distanza fra i bordi delle armature semisferiche, il volume investito dal campo è quello della sfera di raggio più quello del cilindro di base e altezza . Pertanto l'energia contenuta nel condensatore sarà pari a questo volume per la densità d'energia . La parte variabile con la distanza è proprio quella del cilindro ed il lavoro fatto dalla forza agente fra le armature quando l'altezza del cilindro varia di corrisponde proprio alla variazione infinitesima dell'energia.
Abbiamo insomma in valore assoluto

[Pigkappa]

Forse si riesce a far funzionare, ma non mi convince tantissimo...

LA FORZA CHE BISOGNA ESERCITARE E' QUELLA CHE CI SAREBBE FRA LE ARMATURE SEMISFERICHE DI UN CONDENSATORE CON CARICHE E .

Se tu avessi davvero due armature semisferiche con cariche di segno opposto, le cariche si respingerebbero ed attrarrebbero in modo diverso dal caso in cui le due semisfere sono cariche con lo stesso segno, e non sono convinto che la distribuzione di carica superficiale resterebbe uniforme.

In tal caso le linee di forza del campo sono tutte fra le armature ed il campo vale

Come mai? Non sono sicuro sia vero e di certo non è ovvio... Mi stupisce che ci sia un campo uniforme con una distribuzione di carica così complicata.