Dimostrazione formula raggio di curvatura
Dimostrazione formula raggio di curvatura
Qualcuno di voi potrebbe postare la dimostrazione della formula del raggio di curvatura nota la funzione che descrive la traiettoria del corpo ? Grazie
Re: Dimostrazione formula raggio di curvatura
Sia la traiettoria del corpo; definiamo:
- il versore tangente:
- il versore normale:
(dove indica il modulo dello spostamento infinitesimo nel tempo dt).
Chiamiamo la funzione la "curvatura" della traiettoria.
Si può dimostrare geometricamente (*) che il raggio di curvatura è il reciproco della curvatura:
.
A questo punto, tornando alla fisica, si ha
Scomponiamo l'accelerazione nelle sue componenti tangente e normale:
(si vede facilmente che la componente nella terza direzione è nulla),
e osserviamo che
(questo è il noto risultato per cui la variazione del modulo della velocità dipende solo dall'accelerazione tangenziale);
si ricava
e quindi
che se chiamiamo "accelerazione centripeta" la componente è qualcosa di piuttosto familiare.
- il versore tangente:
- il versore normale:
(dove indica il modulo dello spostamento infinitesimo nel tempo dt).
Chiamiamo la funzione la "curvatura" della traiettoria.
Si può dimostrare geometricamente (*) che il raggio di curvatura è il reciproco della curvatura:
.
A questo punto, tornando alla fisica, si ha
Scomponiamo l'accelerazione nelle sue componenti tangente e normale:
(si vede facilmente che la componente nella terza direzione è nulla),
e osserviamo che
(questo è il noto risultato per cui la variazione del modulo della velocità dipende solo dall'accelerazione tangenziale);
si ricava
e quindi
che se chiamiamo "accelerazione centripeta" la componente è qualcosa di piuttosto familiare.
Re: Dimostrazione formula raggio di curvatura
Rimane da dimostrare (*), cioè che il raggio di curvatura è effettivamente .
poniamo ; la tesi è che la circonferenza di centro è la migliore approssimante della traiettoria per piccoli spostamenti dall'origine.
Sia la distanza dal centro;
la tesi è che le derivate prima e seconda di sono nulle in
(mentre la derivata prima non lo sarebbe se avessimo scelto un'altra direzioni, e la seconda non lo sarebbe se avessimo scelto un qualsiasi altro valore per il raggio).
Infatti:
che calcolato all'istante iniziale fa zero (infatti e )
e
Il primo pezzo, quello con la derivata prima, fa zero per quanto visto sopra; nel secondo pezzo abbiamo un che si annulla al tempo e ci rimane
che si annulla solo se il raggio di curvatura vale quanto avevamo calcolato prima, cioè .
Questo conclude la dimostrazione: la migliore approssimazione circolare della traiettoria vicino ad un determinato punto è la circonferenza con centro posto sulla direzione (cioè la direzione nel piano individuato da e , ortogonale a ), dalla parte verso cui la traiettoria sta piegando, a distanza .
poniamo ; la tesi è che la circonferenza di centro è la migliore approssimante della traiettoria per piccoli spostamenti dall'origine.
Sia la distanza dal centro;
la tesi è che le derivate prima e seconda di sono nulle in
(mentre la derivata prima non lo sarebbe se avessimo scelto un'altra direzioni, e la seconda non lo sarebbe se avessimo scelto un qualsiasi altro valore per il raggio).
Infatti:
che calcolato all'istante iniziale fa zero (infatti e )
e
Il primo pezzo, quello con la derivata prima, fa zero per quanto visto sopra; nel secondo pezzo abbiamo un che si annulla al tempo e ci rimane
che si annulla solo se il raggio di curvatura vale quanto avevamo calcolato prima, cioè .
Questo conclude la dimostrazione: la migliore approssimazione circolare della traiettoria vicino ad un determinato punto è la circonferenza con centro posto sulla direzione (cioè la direzione nel piano individuato da e , ortogonale a ), dalla parte verso cui la traiettoria sta piegando, a distanza .