Corrente indotta

[Lord Pinna]

Il problema è questo:
un'asta di lunghezza L fissata ad un estremo ruota di moto circolare uniforme in una regione di campo magnetico B uniforme. Su di essa si produce una corrente indotta? A mio parere non c'è una variazione di flusso. Attendo spiegazioni.

[Pigkappa]

Attendo spiegazioni.

Arrivano le spiegazioni...

Farò finta che sia ortogonale al piano dell'asta per semplificare un po'.

Non si ha corrente indotta, se non per un tempo molto breve, perchè l'asta non è collegata ad un circuito e quindi la carica non saprebbe dove andare. Ad esempio, se ci fosse una corrente che porta gli elettroni verso l'esterno dell'asta, si accumulerebbero sempre più elettroni al bordo dell'asta e chiaramente questo non succede.

Però questo non vuol dire che non ci sia una differenza di potenziale indotta.
Per stabilire se c'è una "variazione di flusso" bisogna considerare un circuito e calcolare il flusso che lo attraversa in funzione del tempo; in questo caso non si può fare perchè l'asta da sola non è un circuito. Ci sono dei trucchetti per trovare la differenza di potenziale applicando lo stesso la legge di Faraday, ma non sono molto rigorosi e li lascerei stare.
Un altro metodo per trovarla è quello di considerare un elettrone che si trova nell'asta. Questo subisce una forza verso l'interno (il verso dipende in realtà da come gira l'asta e da come è orientato il campo magnetico; comunque la direzione è quella dell'asta) dovuta alla forza di Lorentz, quindi di modulo . Poichè non ci può essere una corrente che scorre nell'asta come ho detto sopra, dev'esserci una campo elettrico radiale che lo spinge verso l'esterno, di modulo . Poichè c'è un campo elettrico radiale, c'è una differenza di potenziale (esercizio: calcolarla).

[Lord Pinna]

Nel mio caso B è ortogonale e l'asta ruota in senso antiorario. Allora l'asta in un periodo T spazza un' area pari a quella del cerchio individuato dall'asta, a questo punto dovrei applicare la legge di Faraday: B*Area(cerchio)/T. E' giusto questo ragionamento. A me non convince perchè la variazione di flusso dovrebbe dipendere da una variazione di B che in questo caso è costante o da una variazione dell'area attrraversata dal flusso che non cambia. Quindi?

[Pigkappa]

La cortesia si spreca...

Invece di dirti direttamente se funziona o no quel procedimento, provo a spiegarti per bene la situazione che è un po' complicata. Prova a capire tutto il mio messaggio senza limitarti ad un sì/no.

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A me non convince perchè la variazione di flusso dovrebbe dipendere da una variazione di B che in questo caso è costante o da una variazione dell'area attrraversata dal flusso che non cambia. Quindi?

Quel ragionamento non è corretto nel senso che non è l'applicazione diretta della legge di Faraday. La legge di Faraday è di solito presentata in situazioni ambigue in cui si mescolano due principi fisici diversi. Una versione che probabilmente conosci tu è:



E qualunque circuito consideri nel problema da te descritto, vale . Si può mostrare che un altro modo di scrivere questa legge è:



Forse non sai cosa significa questa scrittura; comunque nel caso descritto implica che il campo elettrico generato dalla variazione del campo magnetico è nullo in ogni punto.



Tuttavia, c'è anche un altro principio fisico che dobbiamo considerare e che può causare una forza elettromotrice, ed è quello di cui avevo parlato nel post precedente. Gli elettroni dell'asta sentono la forza di Lorentz, perchè si muovono in un campo magnetico, e quindi tendono a spostarsi, ed in questo modo si ha una distribuzione di carica non nulla nell'asta e una differenza di potenziale elettrostatica.

Il motivo per cui si cerca di usare la legge di Faraday anche per descrivere questo fenomeno è che, se si considera un circuito chiuso che si sposta nel tempo, si può dimostrare che la forza elettromotrice nel circuito dovuta alla forza di Lorentz che agisce sugli elettroni è data proprio da:



Dove la variazione del flusso è dovuta questa volta al fatto che il circuito si muove e non alla variazione del campo magnetico nel tempo. La legge di Faraday espressa con le formule qua sopra è quindi valida in due situazioni completamente diverse:

1.)Quando c'è un campo magnetico che varia nel tempo; in questo caso la si può applicare a qualunque curva chiusa, anche quando non c'è un circuito. La variazione del campo magnetico causa l'apparire di un campo elettrico. Questo fenomeno non lo potresti prevedere dalle leggi dell'elettrostatica e magnetostatica che hai visto prima della legge di Faraday.
2.)Quando c'è un circuito che si muove in un campo magnetico che non varia nel tempo; in questo caso la puoi applicare alla curva che definisce il circuito, ed è dovuta alla forza di Lorentz che agisce sugli elettroni, ma non c'è un campo elettrico indotto nel circuito ma solo una forza elettromotrice che spinge gli elettroni. Questo fenomeno lo si può descrivere in termini delle sole leggi dell'elettrostatica e non è una legge nuova.


Nell'esempio di cui parli tu, la situazione è ancora più complicata perchè non c'è un vero e proprio circuito in cui si muovono gli elettroni, ma solo un'asta. La cosa migliore da fare è calcolare la differenza di potenziale come ti avevo detto sopra, calcolando la forza che agisce sugli elettroni dell'asta.

Tuttavia, se si fa questo conto nel modo che ho detto io, considerando un'asta che si muove in direzione generica in un campo magnetico generico, si trova che la differenza di potenziale elettrostatica tra i capi dell'asta risulta proprio quella che si calcolerebbe considerando il flusso di campo magnetico spazzato dall'asta. Ma non c'entra con gli enunciati della legge di Faraday che ho scritto sopra; è ancora un altro fenomeno.


Quindi, per riassumere: il tuo dubbio è fondato, e l'applicazione della legge di Faraday in quel modo è errato. Comunque si può dimostrare, in un modo che non passa dalla legge di Faraday, che quel procedimento porta al risultato corretto.


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Probabilmente non hai capito tutto quello che ho scritto, ed alcune di queste cose ti sono state poste in modo completamente diverso a scuola; purtroppo la questione è intrinsecamente complicata, io non so se mi sono spiegato bene e sicuramente andrebbe spiegata in modo molto diverso da come si fa al liceo, mentre si tende a dire che la legge di Faraday è una sola senza spiegare quando la si può applicare.

[egl]

Secondo me il procedimento di Lord Pinna è esatto. Penso che possiamo comunque pensare la situazione in questo modo: facciamo un circuito (ideale) a settore circolare delimitato da una parte dall'asta che quindi lo sta chiudendo.

In un intervallo di tempo l'asta spazza un'area pari a
Per la legge di Faraday si ha:

Altrimenti, seguendo il consiglio di Pigkappa, ogni punto della sbarra si muove con velocità , la forza di Lorentz allora vale .

Direttamente dalla definizione di differenza di potenziale si ha che è lo stesso risultato.

[Pigkappa]

Penso che possiamo comunque pensare la situazione in questo modo: facciamo un circuito (ideale) a settore circolare delimitato da una parte dall'asta che quindi lo sta chiudendo.

In un intervallo di tempo l'asta spazza un'area pari a
Per la legge di Faraday si ha:

Mah, secondo me non si può fare. A cosa stai applicando la legge di Faraday, e cosa dice per te la legge di Faraday?

Se tu consideri quel settore circolare, la sua area rimane costante nel tempo. Il flusso del campo magnetico che lo attraversa rimane costante nel tempo. Secondo qualsiasi interpretazione sensata che riesco ad immaginare, . Se vuoi, possiamo dire nel caso in esame che dove è l'area di questo settore circolare, e quindi è evidente che il flusso rimane costante.

Il procedimento dà il risultato corretto per altri motivi: si può dimostrare appunto che, quando una sbarra si muove in un campo magnetico, la ddp ai suoi capi si ricava a partire dal flusso tagliato dalla sbarra nel modo che dici tu. Però questa non è un'applicazione della legge di Faraday.