Benissimo gente, i vostri risultati mi confortano molto.
Ecco la mia soluzione. Scusate se mi dilungo in spiegazioni, ma essere logorroico è la mia seconda natura (dopo quella di fisico dilettante).
Poiché i risultati coincidono, direi che abbiamo ragionato allo stesso modo.
Di seguito è rappresentata la relazione vettoriale tra le grandeze in gioco.
Definizioni:
massa del corpo che impatta sulla slitta
velocità del corpo che impatta sulla slitta
massa della slitta
velocità della slitta
dislivello tra il punto P e il punto Q
dislivello tra il punto di partenza del corpo e il punto di impatto P
Pedice 0: grandezza prima dell’urto
Pedice 1: grandezza dopo l’urto
Pedice R: grandezza relativa al sistema “slitta”
Pedice X: vettore componente orizzontale
Pedice Y: vettore componente verticale
All’impatto un impulso orizzontale identico e di segno opposto interessa sia la slitta che il punto materiale. Essendo un urto, la forza istantanea tende a infinito e agisce per un tempo tendente a zero. Le velocità assunte dal corpo materiale e dalla slitta stanno nella relazione
. La conservazione dell’energia impone poi
.
Mettiamoci in un sistema di riferimento solidale con la slitta. Questo sistema risulta prima inerziale, poi accelerato (istante di impatto) e infine inerziale. Il calcolo della traiettoria è possibile farlo applicando le leggi della balistica al sistema inerziale successivo all’urto e utilizzando le velocità iniziali del punto materiale relative alla slitta
e
.
Imponendo la condizione di raggiungimento del punto Q, le velocità relative iniziali devono obbedire alla seguente relazione (ricavata utilizzando i principi della cinematica):
Per stabilire le velocità iniziali in funzione di
, occorre fare delle considerazioni su cosa accade al momento dell’urto.
Prima dell’urto la slitta è ferma, quindi prima dell’urto la quantità di moto del corpo materiale relativa al sistema slitta è
.
Al momento dell’urto il sistema diviene accelerato, e quindi il punto materiale appare soggetto a una “gravità” aggiuntiva orizzontale uguale e contraria all’accelerazione stessa. La quantità di moto di tale corpo dunque assume una variazione istantanea verso destra pari (in modulo) a
, dove
è la velocità di traslazione (verso sinistra) istantaneamente assunta dalla slitta. Inoltre sul corpo agisce anche un impulso normale alla superficie di impatto (a causa della mancanza d’attrito). Dunque alla quantità di moto iniziale si sommano queste due variazioni: una in senso normale al piano inclinato di impatto, l’altra in senso orizzontale (verso destra), chiamata in figura
, che rappresenta il contributo dovuto al fatto che il sistema di riferimento è accelerato (anche se in questo caso l’accelerazione è di tipo impulsivo e conferisce variazioni di velocità istantanee). Il risultato complessivo è il vettore
. Le sue componenti sono le grandezze da inserire nell’equazione balistica.
Il vettore
(velocità assoluta del corpo) si ottiene dal
(velocità del corpo relativa) sommando
che è la velocità di trascinamento.
Inserendo il tutto nelle equazioni di conservazione della quantità di moto e dell’energia si ottengono le velocità iniziali cercate:
^2 + \frac{m}{M}v_{1X}^2 = v_0^2)
)
)
)
)
Queste relazioni mostrano alcune caratteristiche prevedibili. Ad esempio quando il rapporto
tende a zero, la velocità assoluta verticale del corpo tende a 0 mentre quella orizzontale tende a
(rimbalzo orizzontale con slitta praticamente ferma perchè di massa molto grande rispetto al corpo). Viceversa quando il rapporto
tende all’infinito (corpo con massa molto maggiore della slitta) accade l’inverso, e cioè il moto verticale del corpo appare indisturbato dalla presenza della slitta.
Inserendo dunque i valori delle componenti orizzontale e verticale della velocità relativa nell’equazione balistica e attribuendo alle masse il rapporto 2, come richiesto dall’esercizio, si ricava:
^2 + 2\frac{M}{m}}{4\left( \frac{M}{m}\right)^2 + 4\frac{M}{m} + 1})
da cui la relazione cercata:
