Suggerimento: potrebbe essere utile cercare qualche altra disuguaglianza preliminare.
Disuguaglianza astronomica.
Disuguaglianza astronomica.
Si consideri un sistema di N corpi legato gravitazionalmente, con energia totale 
. Si ponga l'origine delle coordinate nel centro di massa del sistema e l'asse 
avente direzione e verso del momento angolare 
del sistema. Sia 
il momento d'inerzia del sistema rispetto all'asse . Sia 
l'energia potenziale del sistema. Dimostrare che:
(disuguaglianza di Easton)
Suggerimento: potrebbe essere utile cercare qualche altra disuguaglianza preliminare.
Suggerimento: potrebbe essere utile cercare qualche altra disuguaglianza preliminare.
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
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Loren Kocillari89
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- Iscritto il: 16 gen 2009, 18:37
Re: Disuguaglianza astronomica.
In attesa che qualcuno dimostri la disuguaglianza generalizzato agli N corpi, si potrebbe iniziare a dimostrarla nel caso ristretto di due corpi. In questo caso per la dimostrazione potrebbero essere sufficienti soltanto le nozioni di gravitazione senza aver bisogno di altre disuguaglianze matematiche.
La fisica è come il sesso: certamente può fornire alcuni risultati pratici, ma non è questo il motivo per cui lo facciamo!
-Richard Feynman
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Re: Disuguaglianza astronomica.
Siccome E<0, per la disuguaglianza fra media artimetica e geometrica si ha
^2=(\lvert E \rvert + K)^2 \geq 4 \lvert E \rvert K)
Siano
i momenti d'inerzia delle singole masse rispetto all'asse z e siano 
le loro velocità angolari rispetto a z. Allora
Se i moti avvengono su un piano e le sono costanti, allora le velocità radiali sono nulle e vale l'uguaglianza.
Moltiplicando per I =
si ha
 (\sum I_i))
Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
 (\sum I_i) \geq \sum (I_i \omega_i)^2 = L^2)
dove l'uguaglianza vale quando le sono tutte uguali. Dunque
Il secondo termine è una costante del moto, e 
variano rispettivamente con il quadrato e l'inverso del quadrato delle dimensioni del sistema.
Per moti su un piano, si ha il segno di uguale quando il sistema ruota come un corpo rigido attorno al centro di massa. Infatti per il teorema del viriale il valore medio di K è uguale a
, ma in questo caso K è costante e quindi 
.
Per N=2 si ha sempre l'uguaglianza. Qual è l'unica dispozione di 3 corpi non allineati per cui ciò avviene?
EDIT: corretto un segno e aggiunte ultime righe. L'ultima domanda è un vecchio problema IPhO... con gli anni hanno un po' cambiato stile
Siano
Se i moti avvengono su un piano e le
Moltiplicando per I =
Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
dove l'uguaglianza vale quando le
Il secondo termine è una costante del moto,
Per moti su un piano, si ha il segno di uguale quando il sistema ruota come un corpo rigido attorno al centro di massa. Infatti per il teorema del viriale il valore medio di K è uguale a
Per N=2 si ha sempre l'uguaglianza. Qual è l'unica dispozione di 3 corpi non allineati per cui ciò avviene?
EDIT: corretto un segno e aggiunte ultime righe. L'ultima domanda è un vecchio problema IPhO... con gli anni hanno un po' cambiato stile