Resistore a tronco di cono

[pascal]

Quando la corrente percorre le stesse traiettorie in un conduttore, la resistenza deve rimanere invariata.

[Hope]

Con semplici considerazioni geometriche, si ha che, a distanza x da a, il raggio del cono è , quindi l'area sarà (5).

scusa puoi spiegare meglio qst semplici considerazioni geometriche?

[Falco5x]

Perché nei due regimi di corrente si ha la stessa resistenza?
Ripercorro le due dimostrazioni.
a) Per I=costante:
, ma con r incluso in e perciò
b) Per J=costante:

Quindi e le due resistenze sono uguali.
Nel modo a) la corrente I è dovuta alla tensione V ed R=V/I.
Nel modo b) possiamo pensare di suddividere il tronco in tanti cilindretti, attraversati dalle correnti , a loro volta provocate da generatori che applicano le tensioni appropriate . Il rapporto fornisce la resistenza del generico cilindretto. Assemblando i cilindretti si ottiene il tronco, che corrisponde ad un insieme di resistenze in serie e pertanto .
I due procedimenti conducono allo stesso risultato perché, una volta stabilito il percorso della corrente, la resistenza del tronco deve essere indipendente dalla modalità di calcolo, a parità di .

Vorrei aggiungere un commento a quanto dice Pascal.
Secondo me il fatto stesso di considerare J costante lungo un percorso a resistenza variabile contrasta col principio di resistenze in serie e quindi non ha significato calcolare la resistenza globale di un circuito di tal genere. Infatti se supponiamo la J costante dobbiamo supporre corrente in aumento con l'aumentare della sezione del conduttore, il che significa immaginare un modello costituito da tante dR in serie dove tra l'una a l'altra c'è una diramazione dalla quale proviene una dI. A questo punto che senso ha parlare di resistenza complessiva? Ha senso parlare solo di V complessiva, ma per calcolare questa presunta resistenza per quale valore di corrente vogliamo dividere questa V totale? la dividiamo per la corrente iniziale, quella che entra nella sezione a del conduttore, oppure per quella che esce dalla sezione b?
Allora tiriamo la monetina e scegliamo ad esempio la sezione iniziale.
Poiché la J è costante anche il campo elettrico lungo il conduttore è costante, dunque la tensione totale è . Dividendo per la corrente alla sezione a si ha:



che è ben diverso dalla resistenza che si ottiene a I costante, dove le la resistenza totale si può effettivamente calcolare come somma di resistenze infinitesime:



I due calcoli coincidono solo se nel caso a J costante cambiamo la definizione che ho usato per la resistenza, assumendo come corrente di riferimento non quella alla sezione iniziale ma la media geometrica tra la corrente alla sezione a e la corrente alla sezione b. Però in questo modo abbiamo reso uguali i risultati dei due metodi solo grazie a un arbitrio di definizione. Se prendevamo qualunque altro riferimento di corrente il calcolo non veniva uguale.

Insomma, il modello a J costante anche se proposto dall'autore del problema secondo me è proprio sbagliato perché in questo caso non si può nemmeno parlare di resistenza totale del conduttore.

[Gauss91]

scusa puoi spiegare meglio qst semplici considerazioni geometriche?

Traccia la sezione a distanza x da a (parallela alle due basi ovviamente). Dall'estremo della base a, traccia la perpendicolare alla base b, che staccherà sulla sezione prima tracciata un segmento di lunghezza d (tra le perpendicolari e i lati obliqui).
Per la similitudine fra i triangoli considerati, si ha , da cui .
La sezione sarà quindi.