321. Torre infinita di cilindri

[Fibdg]

Si consideri un sistema di assi prive di massa e cilindri (dotati di massa) identici impilati all'infinito come mostrato nella figura allegata. Il momento d'inerzia di ciascun cilindro è . In ogni livello troviamo due cilindri, e il numero di livelli è infinito. Il sistema è inizialmente in equilibro. Le assi sono libere di muoversi, i cilindri non strisciano rispetto alle assi con cui sono a contatto, e l'asse che poggia sul terreno può traslare liberamente su di esso. Se si spinge quest'ultima asse in modo che acceleri orizzontalmente verso destra con un'accelerazione , qual è l'accelerazione orizzontale dei due cilindri alla base, ovvero quei due cilindri che poggiano direttamente sopra alla prima asse? (Il testo originale era in inglese, spero sia tutto chiaro).

https://i.imgur.com/0loLb27.png

[Higgs]

Come tutti i problemi strani suscita ipotesi di soluzioni strane. Ti voglio sottoporre questa domandando se ho capito il tuo testo..
Il punto di contatto dei cilindri con il piano in basso non può slittare sul medesimo. Allora deve assumere l'accelerazione a e indurre una rotazione antioraria dei due cilindri. La rotazione è attorno al cdm dei due cilindri. Infatti i punti di contatto con il piano superiore ugualmente non possono slittare sul piano superiore per cui trasmettono a a questo piano inducendo nei cilindri che ci poggiano una rotazione oraria. Quindi in ciascun piano si inducono rotazioni opposte sempre attorno ai rispettivi cdm che pertanto non si muovono. Quindi la mia paradossale risposta sarebbe che l'accelerazione orizzontale dei cilindri è NULLA!

[Fibdg]

Ci tengo a precisare che la richiesta è determinare l'accelerazione orizzontale dei cilindri che poggiano direttamente sopra la prima asse, ovvero solo l'accelerazione dei due cilindri alla base, adesso modifico il messaggio e disambiguo.

...ai rispettivi cdm che pertanto non si muovono.

Se viene indotta la rotazione di uno tra i cilindri, e questo cilindro come gli altri non può slittare sulle assi (che sono inizialmente ferme), allora per forza il suo centro di massa si deve spostare, altrimenti ruoterebbe sul posto senza traslare (= slittare rispetto alle assi su cui poggia). Forse ho capito male io e tu intendi invece che presi due livelli adiacenti il cdm complessivo dei quattro cilindri non si muove: questo però non è vero, ed è legato a quello che dicevo poco fa, ovvero che oltre a ruotare i cilindri traslano (sta a te capire come ). Ricordando che c'è anche un moto di traslazione puoi aggiustare il ragionamento che andavi costruendo.
Sicuramente è vero che

Il punto di contatto dei cilindri con il piano in basso non può slittare sul medesimo. Allora deve assumere l'accelerazione a e indurre una rotazione antioraria dei due cilindri.

Tra l'altro se qualcuno (Pigkappa ) nota che sto dicendo cose sbagliate lo segnali grazie.

[Higgs]

[/quote] Se viene indotta la rotazione di uno tra i cilindri, e questo cilindro come gli altri non può slittare sulle assi (che sono inizialmente ferme), allora per forza il suo centro di massa si deve spostare, altrimenti ruoterebbe sul posto senza traslare (= slittare rispetto alle assi su cui poggia).[/quote]
Ecco era quest'ultima cosa che io intendevo. Infatti se il cdm del cilindro si sposta deve ruotare attorno al punto di contatto che diventa asse istantaneo di rotazione. Attorno ad esso deve ruotare anche il punto di contatto con l'asse superiore che deve quindi STRISCIARE su questo!
Continuerò a pensarci perchè non sono convinto!

[Fibdg]

Attorno ad esso deve ruotare anche il punto di contatto con l'asse superiore che deve quindi STRISCIARE su questo!

Le assi non sono fissate, ma libere di muoversi orizzontalmente (meglio specificare anche questo nel testo), e quindi l'asse superiore si muove con il punto di contatto superiore senza alcuno slittamento.

[Higgs]

Mah, mi pare che nel testo originario si diceva che il punto di contatto non doveva strisciare sull'asse ( quindi ci poteva solo rotolare) ...Se allora l'asse si muove con una certa accelerazione a che succede al punto di contatto del cilindro? Viene comunicata anche al punto questa accelerazione cioè rimane immobile rispetto all'asse o ci rotola sopra per cui il cdm del cilindro mi pare si sposti in senso opposto? Ti sembra che ora abbia capito il testo o continuo a equivocare?

[Fibdg]

Io direi che nel suo moto il cilindro è a contatto in due punti con due delle assi. Istantaneamente, preso un punto di contatto e la sua asse, questi due hanno la stessa accelerazione (se non fosse così allora sì che striscerebbe). Direi che il punto rimane immobile rispetto all'asse nella stessa misura in cui il punto di contatto di un cilindro che rotola su un piano istantaneamente è fermo. Quindi sì, ci "rotola sopra", ricordando che c'è anche un'asse superiore su cui il cilindro "rotola". Mi sembra che tu abbia capito la situazione! Mi scuso per la confusione sul testo.

[Pigkappa]

Tra l'altro se qualcuno (Pigkappa ) nota che sto dicendo cose sbagliate lo segnali grazie.

Non mi pare

Il punto di contatto dei cilindri con il piano in basso non può slittare sul medesimo. Allora deve assumere l'accelerazione a e indurre una rotazione antioraria dei due cilindri. La rotazione è attorno al cdm dei due cilindri. Infatti i punti di contatto con il piano superiore ugualmente non possono slittare sul piano superiore per cui trasmettono a a questo piano inducendo nei cilindri che ci poggiano una rotazione oraria. Quindi in ciascun piano si inducono rotazioni opposte sempre attorno ai rispettivi cdm che pertanto non si muovono.

Questo era giusto fino alla parte in grassetto. C'è sia rotazione che traslazione e in un certo senso vanno in due direzioni opposte tra loro, ma non è ovvio, e probabilmente nemmeno vero, che si bilanciano perfettamente così che i cdm non si muovono.

Mi ci devo ancora mettere ma per dire due pensieri che ho:
1.) La condizione che le assi sono "prive di massa" è cruciale. L'intuito può trarre in inganno, perché non ci immaginiamo questa cosa.
2.) Comincerei con poche assi e cilindri, prima di fare il caso infinito.

[Higgs]

@Fibdg Eh purtroppo non mi pare invece di aver capito la situazione a partire dal fatto che spingendo si conferisce un'accelerazione a un asse di massa nulla! Anche la forza applicata all'asse per accelerarlo è nulla? Asse e punto di contatto sono istantaneamente con la stessa accelerazione rispetto al pavimento. Allora è come se il punto di contatto stisciasse sul pavimento sopra l'asse. Tu stesso dici fra virgolette che rotola sull'asse che ha accelerazione a rispetto al pavimento...Se l'asse istantaneo di rotazione è per il punto di contatto occorre per Newton il momento di una forza esterna per farlo rotolare conferendogli un'accelerazione angolare. Quale sarebbe questa forza che passa per l'asse di rotazione e quindi ha momento nullo? Scusami per il casino che ho in testa...

[Fibdg]

Se capisco quello che dici:

1) Avrei dovuto dire che le assi hanno massa trascurabile invece che "prive di massa" (non dovrebbe cambiare nulla no?). A questo punto alla prima viene impartita un'accelerazione verso destra.

2) Riguardo alle forze, ci sono sostanzialmente attriti tra i cilindri e le assi. Non ho capito cosa tu intenda quando dici

Quale sarebbe questa forza che passa per l'asse di rotazione e quindi ha momento nullo?

Direi una forza di attrito

Allora è come se il punto di contatto stisciasse sul pavimento sopra l'asse.

Se vuoi metterla in questi termini ok, il punto di contatto si muove con un'accelerazione sopra l'asse che è rispetto al pavimento, che è d'altra parte l'accelerazione stessa dell'asse rispetto al pavimento.