320 - Sferetta che cade nel miele

[degmantec]

Buonasera, sono nuovo nel forum delle olimpiadi e l'intenzione mia e di altri ragazzi era quella di riaprire la staffetta di fisica proseguendo con il problema 320, dato che dopo il problema 319 (Il pendolo di Foucault) sembra che la staffetta sia entrata in un periodo di inattività.

Pertanto, chiarito ciò, il problema con cui vorrei cominciare è il seguente.

Una sferetta di volume V fatta di un certo materiale di densità ρ cade all'interno di un barattolo di miele (miele con una densità ρH) contenente un certo volume VH di miele. Grazie alle forze di attrito viscoso, la sfera parte dalla superficie del miele e cade mantenendo una velocità sempre costante (non si consideri il momento dell'impatto con il fondo del barattolo) pari a v e diretta sempre verso il basso. Sotto queste ipotesi si determini in funzione dei dati forniti la quantità di moto complessiva DEL MIELE nel barattolo.

[Fibdg]

Non riesco a capire come esprimere la posizione del centro di massa del miele quando la sferetta è inserita... ho provato , dove è la posizione iniziale del centro di massa del miele, è la posizione iniziale del centro di massa della sferetta e è la profondità del barattolo, il tutto rispetto a un asse con centro sulla superficie del barattolo e orientato verso il basso. L'idea è che una sferetta di miele di identico volume risalga dal fondo alla stessa velocità "spostando" il centro di massa del miele. Derivando rispetto a ottengo che la quantità di moto del miele è . Può avere senso?

[Higgs]

Io penso che il cdm complessivo del sistema miele+sfera debba rimanere fisso perché non c'è nessuna forza esterna verticale agente sul sistema: anche la forza di attrito viscoso è interna al sistema, miele e sfera se la scambiano in versi opposti, come mi pare la spinta di Archimede agente sulla sfera...Fa giustizia delle forze verticali la reazione verso l'alto del fondo del barattolo. Tuttavia è un fatto che, se scende verso il basso la sfera a velocità v, questo sarebbe un abbassamento del cdm complessivo. Ma bisogna osservare che la sfera che scende viene sostituta da un ugual volume di miele che sale verso l'alto e pareggia il conto complessivo in modo che il cdm complessivo non si sposti. Se l'idea è ritenuta corretta provo a quantificarla successivamente.

[Fibdg]

bisogna osservare che la sfera che scende viene sostituta da un ugual volume di miele che sale verso l'alto e pareggia il conto complessivo in modo che il cdm complessivo non si sposti

Secondo me è corretto, si troverebbe che la velocità con cui quel volume di miele risale è maggiore di essendo , giusto?

[Higgs]

Spero che sia corretto. Ma l'uso del forum è che l'autore risponda agli interventi. E' appunto una discussione della quale poi l'autore trarrà le conclusioni.
Ma Degmantec non ha risposto... Rispetto però alla tua intuizione credo che bisogna tener conto anche dei rispettivi volumi. Potrebbe compensare la minore densità con un maggior volume... se capisco quello che dici...

[Pigkappa]

Io penso che il cdm complessivo del sistema miele+sfera debba rimanere fisso perché non c'è nessuna forza esterna verticale agente sul sistema: anche la forza di attrito viscoso è interna al sistema, miele e sfera se la scambiano in versi opposti, come mi pare la spinta di Archimede agente sulla sfera...Fa giustizia delle forze verticali la reazione verso l'alto del fondo del barattolo. Tuttavia è un fatto che, se scende verso il basso la sfera a velocità v, questo sarebbe un abbassamento del cdm complessivo. Ma bisogna osservare che la sfera che scende viene sostituta da un ugual volume di miele che sale verso l'alto e pareggia il conto complessivo in modo che il cdm complessivo non si sposti. Se l'idea è ritenuta corretta provo a quantificarla successivamente.

Io direi che il cdm sta scendendo...

Considera il caso semplice in cui la densità del miele è 0. Evidentemente il cdm del sistema coincide con la sferetta, e sta scendendo a velocità .

Le forze verticali esterne sono la gravità, che agisce su sferetta e miele, e la reazione vincolare del pavimento. Se si dice che si bilanciano esattamente, bisogna dimostrarlo.

[Higgs]

Si è interessante come speculazione il caso della densità 0 ma preferirei proporre il mio punto di vista sul caso reale riconoscendo l'esigenza della dimostrazione. Io ritenevo che le forze agenti sulla sferetta fossero il suo peso, la spinta di Archimede del miele e la forza di attrito viscoso(ovvero orientando verso l'alto l'asse y) dove la forza di attrito viscoso dovrebbe essere proporzionale a v. Siccome quest'ultima è costante dovrebbe essere . Come forze esterne agenti sul miele io vedrei questa forza di attrito diretta verso il basso esercitata dalla sferetta nonché il peso del miele che dovrebbe però essere equilibrato dalla reazione normale N del pavimento.
Inoltre per quanto riguarda il cdm del sistema mi pare che tu abbia ragione sostenendo che scende. Infatti mentre la sfera scende e come si diceva abbassa questo cdm, essa viene sostituita da un ugual volume di miele che però è meno denso della sfera e quindi l'incremento che provoca è inferiore al decremento prodotto dalla sfera.
Cosa sto sbagliando per poter continuare? Ha il miele una p verso l'alto pari a ?

[Fibdg]

Provo a dimostrare quello di cui si è discusso finora:
La sferetta si muove di moto rettilineo uniforme; inoltre il piano risponde a qualsiasi forza verticale verso il basso esercitata dal miele opponendovi una reazione di modulo e direzione uguali ma verso opposto. Per queste ragioni scriviamo:

e

ove e per il terzo principio della dinamica.


Quindi

Se su un sistema non agiscono forze esterne allora diventa e quindi il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme. Quindi non è detto che sia fermo; anzi il suggerimento di Pigkappa fa capire che evidentemente il cdm scende (a velocità costante per quello che si è detto sopra). Da ciò la quantità di moto del sistema è costante nel tempo. Da qui si parte per ragionare su come si muova il miele, anche se come dicevo non riesco a immaginare che condizione imporre sul moto del centro di massa del miele per ricavarne la quantità di moto.

[Pigkappa]

mentre la sfera scende [...] viene sostituita da un ugual volume di miele

Questa è la condizione che permette di ricavare la quantità di moto del miele... La condizione è geometrica in questo caso, non fisica.

[Higgs]

Quella che io ho calcolato cioè riguarda una sostituzione della sfera con il miele. Ma si domanda la quantità di moto COMPLESSIVA del miele cioè tutte la sostituzioni? ovvero ? Però in questo caso la p complessiva mi verrebbe che sarebbe quella di tutto il miele? Ma è possibile?