SNS 2019/20 n. 4

[nicarepo]

Salve a tutti! Ho cercato se qualcuno avesse già postato una soluzione, ma non avendo trovato nulla... Nonostante sia noto, ripropongo il testo:

In una calda giornata estiva decidete di comprare un gelato ad un bar. Il barista vi invita a servirvi da soli quindi aprite la porta del frigorifero, prendete il gelato e richiudete la porta del frigorifero. Poco dopo un vostro amico vi chiede di prendere un secondo gelato dal frigorifero, ma via accorgete che la porta è adesso molto più difficile da aprire.

1. Si dia una spiegazione di questo fenomeno e si faccia una stima del valore massimo della forza in più da applicare la seconda volta alla maniglia (che è posta sul lato della porta più lontano dalle cerniere), in funzione delle seguenti variabili: le dimensioni del frigorifero (altezza , larghezza e profondità ), la temperatura dell'ambiente e del frigorifero (, ), la frazione di volme del frigorifero occupata dai gelati e dalle strutture interne del frigorifero () e il volume di aria fredda che esce dal frigorifero - e viene sostituita dall'aria che prima era all'esterno - quando la porta viene aperta e richiusa ().

2. Dopo un certo tempo, sufficientemente lungo, la porta torna ad aprirsi facilmente. Si dia una spiegazione anche di questo fenomeno e si discuta l'andamento temporale della diminuzione della forza dopo che è stato raggiunto il valore massimo discusso nel punto precedente.

[bosone]

1) A condizioni normali frigo chiuso la pressione esterna è pressochè uguale a quella interna pèrchè il frigo non è a tenuta stagna e c'è comunicazione con l'esterno nello sbrinamento. Aprendo l'aria fredda a il suo volume viene sostituito dall'aria calda a che deve essere diminuita a con ciò, considerando nella stima l'aria gas perfetto, provocando la depressione si può dire a parità di . Pertanto la forza in più facendo il conto mi risulterebbe
2) Praticamente è il tempo di raffreddamento del volume di aria entrato a ovvero l'espulsione con il lavoro elettrico della quantità di calore che entra a .fino al ripristino delle condizioni normali in cui la pressione esterna è praticamente uguale all'interna. Normalmente questo lavoro esterno è fatto usando il gas freon che assorbe calore dall'interno e lo riversa all'esterno a temperatura più alta sfruttando questo lavoro: il freon assorbe calore dall'aria fredda dentro il frigo ed evapora; viene compresso dal lavoro elettrico, si riscalda, liquefa e riversa calore all'esterno più caldo. L'efficienza . L'efficienza è tanto maggiore quanto più piccola è la differenza fra il calore assorbito dall'interno e quello ceduto all'esterno. Il tempo di ripristino della all'interno del frigo dipende dalla potenza elettrica ovvero dal lavoro compiuto per unità di tempo. Più è potente più è rapida la diminuzione della forza necessaria ad aprire la porta del frigo.

[Gamow00]

1) A condizioni normali frigo chiuso la pressione esterna è pressochè uguale a quella interna pèrchè il frigo non è a tenuta stagna e c'è comunicazione con l'esterno nello sbrinamento. Aprendo l'aria fredda a il suo volume viene sostituito dall'aria calda a che deve essere diminuita a con ciò, considerando nella stima l'aria gas perfetto, provocando la depressione si può dire a parità di .

Stai attento che non è un volume, ma solo la frazione occupata.
Inoltre non è un parametro libero, ma è proprio il volume di aria scambiata, in generale minore del volume di aria nel frigo(che è ).

2) Praticamente è il tempo di raffreddamento del volume di aria entrato a ovvero l'espulsione con il lavoro elettrico della quantità di calore che entra a .fino al ripristino delle condizioni normali in cui la pressione esterna è praticamente uguale all'interna. Normalmente questo lavoro esterno è fatto usando il gas freon che assorbe calore dall'interno e lo riversa all'esterno a temperatura più alta sfruttando questo lavoro: il freon assorbe calore dall'aria fredda dentro il frigo ed evapora; viene compresso dal lavoro elettrico, si riscalda, liquefa e riversa calore all'esterno più caldo. L'efficienza . L'efficienza è tanto maggiore quanto più piccola è la differenza fra il calore assorbito dall'interno e quello ceduto all'esterno. Il tempo di ripristino della all'interno del frigo dipende dalla potenza elettrica ovvero dal lavoro compiuto per unità di tempo. Più è potente più è rapida la diminuzione della forza necessaria ad aprire la porta del frigo.

Questa spiegazione non è corretta. Il frigo raffredda l'aria interna, quindi la pressione dentro dovrebbe diminuire giusto? Ciò dovrebbe portare a un ulteriore aumento della forza da applicare.

[bosone]

Sul punto 1) sono d'accordo è la frazione e quindi l'espressione corretta è quella che hai riportato tu. Sul punto 2) concordo sulla depressione sulla base della quale come vedi ho calcolato l'incremento di forza occorrente di cui al punto 1) e quindi inizialmente la forza occorrente aumenta. Poi si ripristinano le condizioni normali in cui la forza torna come prima. Era proprio questo il passaggio e i tempi occorrenti che la domanda chiedeva di esaminare. Mi pare di aver risposto sull'uno e sugli altri. Quindi il problema non è quello che non ho riconosciuto l'iniziale depressione che provoca l'aumento della forza occorrente (come ho fatto al punto 1) ma quello del ritorno alla normale forza occorrente...

[Luca Milanese]

Io volevo solo dire che secondo me, dato che dobbiamo aprire uno sportello e non far traslare un oggetto, bisognerebbe equilibrare non le forze ma i momenti torcenti. Perciò, se assumiamo che la differenza di pressione sia applicata uniformemente su tutta la superficie dello sportello, il momento dovuto a quest'ultima è (dato che possiamo considerare la forza di pressione come applicata al centro dello sportello) e dunque l'equazione diventa . Può avere senso?

[Gamow00]

Io volevo solo dire che secondo me, dato che dobbiamo aprire uno sportello e non far traslare un oggetto, bisognerebbe equilibrare non le forze ma i momenti torcenti. Perciò, se assumiamo che la differenza di pressione sia applicata uniformemente su tutta la superficie dello sportello, il momento dovuto a quest'ultima è (dato che possiamo considerare la forza di pressione come applicata al centro dello sportello) e dunque l'equazione diventa . Può avere senso?

Ha assolutamente senso, anch'io l'avevo fatto così all'ammissione. Inoltre nel testo è proprio specificato

la maniglia (che è posta sul lato della porta più lontano dalle cerniere)

quindi meglio fare così.

[bosone]

Si giusta (forse più giusta) questa stima. Ma viene poi valutato considerando ancora l'aria gas perfetto in modo da far rientrare le temperature come chiede il testo?

[Gamow00]

Si giusta (forse più giusta) questa stima. Ma viene poi valutato considerando ancora l'aria gas perfetto in modo da far rientrare le temperature come chiede il testo?

Sì certo. L'unica differenza è quel fattore .

[Fibdg]

Allora propongo una soluzione tenendo conto di quello che è gia stato detto:

1) Con l'apertura un volume contenente moli d'aria a e sostituisce un volume identico interno al frigo contenente moli a (il frigo non è a tenuta stagna) e . Dopo un certo tempo le moli d'aria si raffreddano grazie al frigo e arrivano alla temperatura . Allora, indicato con il volume d'aria interno al frigo uguale a e la differenza di pressione interna al frigo prima e dopo l'apertura:

con
Ovvero

Una diminuzione di pressione rispetto alla esterna rende necessario applicare una forza per vincere questa differenza di pressione; in altri termini, il frigo risulta più difficile da aprire. Questa forza deve generare un momento torcente in modulo uguale a quello necessario per vincere il , che genera una forza uguale in modulo a , perpendicolare alla superficie individuata dalla porta del frigo, entrante rispetto ad essa e applicata nel centro della stessa superficie (domanda: come si dimostra che proprio nel centro viene applicata se la pressione è distribuita uniformemente sulla superficie?), a distanza dal perno attorno a cui la porta stessa ruota. Dato che, invece, noi apriamo la porta applicando a distanza , avremo:

da cui , e applicando le relazioni ricavate sopra: .

2) Il frigo non è a tenuta stagna: lentamente, le molecole d'aria rientrano nel frigo anche a porta chiusa, le moli d'aria interne ad esso aumentano fino a quando la pressione interna torna ad uguagliare quella atmosferica, ovvero quando le moli interne al frigo uguagliano un valore .
Posso ipotizzare che il tasso di diminuzione del modulo di nel tempo sia massimo all'inizio, quando la differenza di pressione esterno-interno è massima, e che quindi questo tasso di diminuzione (ovvero ) si abbassi sempre più fino ad azzerarsi quando le moli interne al frigo raggiungono il valore , essendo direttamente proporzionale alla variazione di moli interne al frigo. Allora un'ipotesi possibile può essere:

ovvero una diminuzione esponenziale del tipo , con costante positiva aventi le dimensioni di