Principio di relatività e gruppo di Galileo

[Torros]

Salve a tutti,
mi è stato fatto sorgere un dubbio sul principio di relatività ed essendo un argomento così fondamentale credo sia giusto cercare di chiarirmelo.
Si prendano due sistemi di riferimento, e , con il secondo che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto al primo. E' possibile esprimere la posizione di un punto materiale rispetto al sistema () conoscendo la posizione del punto rispetto al sistema () e conoscendo la posizione dell'origine delle coordinate di rispetto a (). Dunque:



Derivando due volte rispetto al tempo:



Ma poichè il sistema si muove di rettilineo uniforme:



Cioè l'accelerazione del punto materiale è la stessa nei due sistemi. Le equazioni del moto rispetto ai due sistemi sono dunque le medesime.
Sembrerebbe che abbiamo così dimostrato il principio di relatività, che però per definizione non può essere dimostrato. Questo modo di ragionare è corretto? Mi è stato presentato a lezione, ma mi sembra moooolto instabile. Provo a formulare qualche considerazione e pregherei qualcuno di potermi aiutare.

Prima obiezione
Nel ragionamento si sta implicitamente constatando che le proprietà dei vettori posizione non cambino nel passaggio da un sistema di fisso ad uno in moto rettilineo uniforme e viceversa. Si può dimostrare che le trasformazioni che fanno parte del gruppo di Galileo sono semplici spostamenti della metrica. Conservano perciò le distanze tra due punti e gli intervalli di tempo. I vettori non dovrebbero quindi subire mutazione nella loro lunghezza e orientamento.
Ho però una domanda da porre rispetto a tale gruppo. Esso comprende tutte le trasformazioni affini che conservano le distanze tra eventi contemporanei e gli intervalli di tempo. E' possibile dimostrare che anche nel passaggio da un sistema inerziale ad uno non inerziale tali caratteristiche si conservano?

Seconda obiezione
Si sta anche implicitamente considerando che il tempo sia ugualmente misurato nei due sistemi, dato che deriviamo senza troppi problemi. Anche questa obiezione è però smontabile assumendo a priori che lo scorrere del tempo sia uguale in tutti i sistemi.

Terza obiezione
Direi la più importante: l'affermazione non significa a priori che le leggi del moto siano uguali nei due sistemi. Essendo infatti con il ragionamento sopra descritto abbiamo dimostrato solo che la parte destra dell'equazione si conserva, ma nulla sappiamo sulla parte sinistra.

Vi ringrazio in anticipo.

[Pigkappa]

Qual è l'enunciato esatto del principio di relatività di cui vuoi discutere? Penso sia necessario scriverlo chiaramente per poter decidere se lo si può derivare da altre equazioni o no.

La fisica non è particolarmente rigida sulla nomenclatura di queste cose.

[Torros]

Certamente. L'enunciato, per come mi è stato presentato, recita: "Le leggi della meccanica sono invarianti nel passaggio da un sistema ad un sistema che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a " .

[Pigkappa]

Assumere che lo scorrere del tempo sia uguale in tutti i sistemi è sbagliato, no?

Sappiamo che il tempo di decadimento di una particella in moto è più lungo che quello di una particella ferma.

Inoltre, tu hai dimostrato sopra (secondo me con una dimostrazione sbagliata per il motivo qua sopra) che l'accelerazione è la stessa nei due sistemi di riferimento. Passare da questa sola cosa al dire che hai dimostrato che tutte le leggi della meccanica sono le stesse mi pare un salto logico.

[Torros]

Assumere che lo scorrere del tempo sia uguale in tutti i sistemi è sbagliato, no?

Sappiamo che il tempo di decadimento di una particella in moto è più lungo che quello di una particella ferma.

Capisco la tua obiezione. La mia domanda sorgeva dalla curiosità di potere tralasciare l'introduzione, nell'ambito specifico della meccanica newtoniana, del principio di relatività. Riformulo dunque la questione. Consideriamo vero per principio che gli orologi misurino lo stesso tempo in sistemi di riferimento diversi. Allora si dimostra che le trasformazioni di galileo conservano la distanza tra eventi contemporanei e gli intervalli di tempo. Le mie prime due obiezioni dovrebbero dunque essere così messe in ordine.

Inoltre, tu hai dimostrato sopra (secondo me con una dimostrazione sbagliata per il motivo qua sopra) che l'accelerazione è la stessa nei due sistemi di riferimento. Passare da questa sola cosa al dire che hai dimostrato che tutte le leggi della meccanica sono le stesse mi pare un salto logico.

Questo lo capisco di meno. Dire che le accelerazioni sono le stesse non implica affermare che le leggi orarie sono le stesse, solo con diverse condizioni iniziali (dettate dalle trasformazioni di Galileo, che ho assunto corrette?)

[Pigkappa]

Scusa se sono sparito per un po'

Consideriamo vero per principio che gli orologi misurino lo stesso tempo in sistemi di riferimento diversi. Allora si dimostra che le trasformazioni di galileo conservano la distanza tra eventi contemporanei e gli intervalli di tempo.

Il fatto che "gli orologi misurino lo stesso tempo in sistemi di riferimento diversi" è sperimentalmente falso.

Stai facendo apposta ipotesi che sono sperimentalmente false, per vedere cosa succederebbe in quel caso? Non mi sorprende assolutamente che, sotto tali ipotesi sbagliate, la relatività non esista e le trasformazioni diventino quelle di Galileo.

Dire che le accelerazioni sono le stesse non implica affermare che le leggi orarie sono le stesse?

Prima avevi parlato delle "leggi della meccanica", per cui pensavo intendessi anche , la gravità, e così via.

In relatività si trova che il campo di gravità dovuta ad un corpo in moto è diversa da quella di un corpo fermo...

Comunque il principio di relatività che hai citato sopra:

"Le leggi della meccanica sono invarianti nel passaggio da un sistema ad un sistema che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a " .

Io non l'ho mai visto prima.

Un principio che penso sia quello più comunemente citato è la versione più forte: "Le leggi della fisica sono invarianti nel passaggio da un sistema ad un sistema che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a ".

Imporre che valga questo principio per le leggi di Maxwell, ed imporre alcune altre condizioni (che le trasformazioni di coordinate e tempo tra un sistema e l'altro siano una funzione lineare, mi pare), porta a ricavare le trasformazioni di Lorentz.

Perché le cose tornino con le equazioni di Maxwell, viene fuori che un parametro che compare in queste trasformazioni deve essere .

Se ti limiti alle leggi della meccanica, credo venga che qualsiasi trasformazione con la stessa formula delle trasformazioni di Lorentz va bene, e rimane un parametro indeterminato. Il caso dà le trasformazioni di Galileo.

Discussione interessante su Wikipedia