308. Carica e sfera conduttrice

[Pigkappa]

Ok ottimo.
Che io sappia... No, non c'è un motivo più profondo. Si può fare il conto in trigonometria invece che coordinate per farlo un po' più breve, ma comunque rimane vero che è solo fortuitamente che si può scegliere una carica immagine che rende uguale il potenziale alla superficie. Per una superficie generica, non sferica, non si può fare.

[matteofisica]

Grazie mille! Penso al secondo punto!

[matteofisica]

Sono andato a studiarmi per bene le dispense degli stage in SNS, dove, per dimostrare l'unicità della soluzione, si utilizza il Teorema di Poisson. Verifico dunque che il sistema analizzato ne soddisfi le ipotesi:
1) Devo considerare una regione di spazio avente bordo : nel nostro caso, si tratta della sfera di centro O(0,0,0) e raggio r.
2) Sul bordo, dev'essere noto il valore di oppure della componente del campo elettrico perpendicolare al bordo. Anche questa condizione è soddisfatta, poiché risolvendo il problema abbiamo trovato un'espressione per su tutta la superficie sferica in funzione di valori dati.
Pertanto, il Teorema di Poisson ci assicura che la soluzione è unica, ed è quella trovata.

Può andar bene come dimostrazione? Mi chiedo se ci si potrebbe arrivare anche non conoscendo il Teorema di Poisson...

[Pigkappa]

Il metodo è quello anche se mi sa che lo hai impostato in po' male. In questo caso stiamo risolvendo per il campo al di fuori della sfera e quindi le condizioni da imporre sono potenziale uniforme sulla superficie della sfera; e carica nulla nella sfera che implica integrale del campo elettrico sulla superficie della sfera uguale a zero; e campo elettrico Q/r^2 attorno alla carica puntiforme Q che conosciamo.

Comunque, sì, i teoremi di unicità garantiscono che la soluzione con queste condizioni è unica.

Se vuoi, puoi provare a dimostrare il teorema di unicità. Non è così difficile costruire almeno un argomento fisico sul perché la soluzione deve essere unica. Questo è uno di quei casi in cui anche senza fare una dimostrazione matematica rigorosa, si può essere convincenti.