302. Campo elettrico in un guscio semisferico

[Pigkappa]

A mente non è che sia proprio chiaro che è un calcolo identico... Puoi esplicitarlo?

Comunque ci sono decisamente meno conti (quasi zero) nel dimostrare che i campi sono uguali se si usano il principio di sovrapposizione, e il fatto che il campo elettrico dentro un guscio carico è zero...

[Higgs]

Per quanto riguarda Q risulta . La prima parte la so integrare, la seconda no

[Pigkappa]

Ok, dato che quel conto l'ho fatto anche io a un certo punto, mi sono andato a rivedere che avevo fatto. Quell'integrale non lo sapevo fare nemmeno io, almeno non subito.

Allora invece di calcolare il campo elettrico, ho provato a calcolare il potenziale , e l'integrale per il potenziale era piu' facile. Poi . Puoi provare cosi' anche tu.

[Higgs]

Dopo essermi confuso per giorni con i conti, compreso il tuo suggerimento sul potenziale, ho pensato che il testo non chiede di sapere quanto valgono ma di dimostrare che sono uguali! Per esempio nel mio sistema con il semiguscio sinistro, P e Q allineati sull'asse orizzontale a distanza r dal centro C del guscio, con P all'interno del semiguscio e Q fuori il vettore campo risultante giace sull'asse orizzontale (e quindi si può parlare del suo modulo preceduto dal segno + o dal segno -), noi si deve dimostrare che E(P)=E(Q). Supponiamo per assurdo che sia invece . Aggiungendo il semiguscio mancante i campi devono annullarsi. Per cui l'effetto dell'aggiunta del semiguscio destro è quello di creare -E(P)-E(Q) ovvero E(P)E(Q). Ora se consideriamo solo il semiguscio destro con Q dentro e P fuori abbiamo a versi invertiti E(P)=-E(Q) ed E(Q)=-E(P). Aggiungendo il semiguscio sinistro essi si devono annullare per cui deve essere E(P)=E(Q) CDD.
Ma anche nel caso generale quando dobbiamo dimostrare che , con P dentro il semiguscio sinistro e Q fuori da esso, supponiamo per assurdo che . Quindi mettendo anche il semiguscio di destra e dovendosi azzerare i campi si avrebbe che varrebbe anche con i segni positivi. Ruotando il guscio di 180°attorno a C punto medio della congiungente PQ, il punto Q si porta dove era P e viceversa. Se togliamo ora il primo guscio di sinistra abbiamo e viceversa. Ricomponendo il guscio intero e dovendosi azzerare i vettori campo elettrico deve essere allora CDD
Può essere corretta questa dimostraziopne senza conti Sarebbe una strada originale

[Pigkappa]

Giusto, a te la staffetta

Da notare che questa simmetria è assolutamente falsa al di fuori del guscio, infatti il campo è discontinuo alla superficie del guscio. Se trovo il tempo mi calcolo il campo in ogni punto e faccio il grafico

[Higgs]

E' inutile sottolineare che ho avuto grande soddisfazione dalla tua risposta. Ecco cosa mi piace della fisica: la possibilità a volte di fare le cose con il ragionamento che può cortocircuitare conti mostruosi che poi uno può pure fare per utile allenamento. Per quanto riguarda la staffetta se non hai tempo non voglio approfittare ma la situazione è quella della volta scorsa.

[Pigkappa]

Ok ne trovero' uno

Mi sono messo a fare il grafico del campo elettrico... Ho dovuto rimpiazzare la superficie carica con un numero finito di cariche uniformemente lontane tra di loro per evitare integrali numerici, ci sono effetti di bordo, ma la simmetria dentro si vede bene

[Higgs]

E' davvero suggestivo. Il vettore campo, meno intenso dentro il semiguscio che fuori, subisce una discontinuità anche di verso. E' governata dalla equazione di Maxwell dove è la densità media nella distribuzione di cariche con cui hai rappresentato la densità superficiale reale?

[Pigkappa]

Si', rispetta . Pero' ovunque tranne che sulla superficie carica, dove , e in casi cosi' non e' particolarmente facile usare questa forma dell'equazione.

Quanto il campo sia discontinuo alla superficie e' un fatto noto da ricordare - il salto e' sempre . Questo perche', se consideri un piccolo cilindro a cavallo della superficie e con le basi parallele ad essa, la carica racchiusa e' , il flusso del campo e' , e usando trovi .

Ad esempio un piano infinito di carica superficiale ha , e il risultato torna. Un conduttore sferico carico ha , e quindi torna.

[Higgs]

Grazie ancora di tutto!