Un dipolo, costituito da due particelle di massa e carica , unite da un'asta rigida di lunghezza e massa trascurabile, viene inserito in un campo magnetico uniforme e costante . Sia la posizione del centro di massa, un vettore di modulo diretto dalla carica negativa a quella positiva e la velocità angolare del dipolo.
Nel moto del dipolo non si conserva la quantità di moto totale , ma una sua forma modificata, . Qual è questo vettore?
Supponiamo ora che e che per il centro di massa sia a riposo nell'origine, punti lungo e .
Per minore di un certo valore critico il dipolo non riesce a compiere una rotazione completa su se stesso. Quanto vale ?
Qual è la massima distanza lungo l'asse raggiungibile dal centro di massa?
287 - Dipolo in un campo magnetico
-
- Messaggi: 150
- Iscritto il: 2 nov 2020, 23:58
- Località: Pisa
-
- Messaggi: 452
- Iscritto il: 13 giu 2019, 10:05
- Località: Terracina
Re: 287 - Dipolo in un campo magnetico
Poichè la lunghezza di è fissa, si ha:
La velocità di ciascuna carica è allora:
Perciò la forza agente su ciascuna è:
La forza totale risulta
Per la Seconda Legge di Newton:
Dall'espressione della forza su ciascuna carica si deduce inoltre che, se inizialmente il dipolo è perpendicolare al campo magnetico, e la sua velocità angolare è ad esso parallela, allora il moto del dipolo si svolgerà sempre in un piano perpendicolare a e la sua velocità angolare sarà costante in direzione. Essendo questo il caso del problema, scrivo e , dove è l'angolo fra e l'asse delle ascisse. Inoltre scrivo .
Per la conservazione di si ha:
Per la conservazione dell'energia, essendo il momento d'inerzia del dipolo attorno a un asse parallelo a e passante per il suo centro di massa:
Si trova così:
Il dipolo riesce a compiere una rotazione se si ha per ogni angolo :
Il massimo valore del membro di destra al variare di è , perciò:
Derivando rispetto al tempo la conservazione dell'energia si ottiene inoltre:
Sostituendo nell'espressione di :
Integrando:
Perciò la massima distanza lungo si raggiunge quando assume il suo minimo valore. Da quanto visto sopra, se , si ha:
Se , allora durante la rotazione del dipolo si annulla e passa a valori negativi, fino al minimo valore , perciò in questo caso:
Infine, se , si ha:
Questa equazione differenziale si risolve esplicitamente con la sostituzione :
Perciò il valore minimo di in questo caso è , che viene raggiunto solo dopo un tempo infinito. Si ha quindi:
La velocità di ciascuna carica è allora:
Perciò la forza agente su ciascuna è:
La forza totale risulta
Per la Seconda Legge di Newton:
Dall'espressione della forza su ciascuna carica si deduce inoltre che, se inizialmente il dipolo è perpendicolare al campo magnetico, e la sua velocità angolare è ad esso parallela, allora il moto del dipolo si svolgerà sempre in un piano perpendicolare a e la sua velocità angolare sarà costante in direzione. Essendo questo il caso del problema, scrivo e , dove è l'angolo fra e l'asse delle ascisse. Inoltre scrivo .
Per la conservazione di si ha:
Per la conservazione dell'energia, essendo il momento d'inerzia del dipolo attorno a un asse parallelo a e passante per il suo centro di massa:
Si trova così:
Il dipolo riesce a compiere una rotazione se si ha per ogni angolo :
Il massimo valore del membro di destra al variare di è , perciò:
Derivando rispetto al tempo la conservazione dell'energia si ottiene inoltre:
Sostituendo nell'espressione di :
Integrando:
Perciò la massima distanza lungo si raggiunge quando assume il suo minimo valore. Da quanto visto sopra, se , si ha:
Se , allora durante la rotazione del dipolo si annulla e passa a valori negativi, fino al minimo valore , perciò in questo caso:
Infine, se , si ha:
Questa equazione differenziale si risolve esplicitamente con la sostituzione :
Perciò il valore minimo di in questo caso è , che viene raggiunto solo dopo un tempo infinito. Si ha quindi:
Valid Facts and Theoretical Understanding Generate Solutions to Hard Problems
-
- Messaggi: 150
- Iscritto il: 2 nov 2020, 23:58
- Località: Pisa
Re: 287 - Dipolo in un campo magnetico
Il risultato è corretto. Mi sembra che tu abbia sbagliato un segno nell'ultimo passaggio per trovare , ma ovviamente il resto è giusto. A te il prossimo!
Il problema è tratto dalle APhO 2001
Il problema è tratto dalle APhO 2001
-
- Messaggi: 452
- Iscritto il: 13 giu 2019, 10:05
- Località: Terracina
Re: 287 - Dipolo in un campo magnetico
Forse mi sfugge qualcosa, ma ho cambiato l'ordine di e nel prodotto vettoriale spostandolo all'altro membro, quindi mi pare che il segno torni.
Valid Facts and Theoretical Understanding Generate Solutions to Hard Problems
-
- Messaggi: 150
- Iscritto il: 2 nov 2020, 23:58
- Località: Pisa
Re: 287 - Dipolo in un campo magnetico
Sì, errore mio
-
- Messaggi: 150
- Iscritto il: 2 nov 2020, 23:58
- Località: Pisa
Re: 287 - Dipolo in un campo magnetico
This aged well.
-
- Messaggi: 452
- Iscritto il: 13 giu 2019, 10:05
- Località: Terracina
Re: 287 - Dipolo in un campo magnetico
Quanta verità.
Valid Facts and Theoretical Understanding Generate Solutions to Hard Problems