Tre particelle di carica e massa sono collegate da delle corde inestensibili, isolanti e di massa trascurabile. Le lunghezze di queste sono tali che la configurazione di equilibrio è un triangolo isoscele con e . All'improvviso la corda viene tagliata. Trovare:
1) La velocità massima della particella nel moto successivo
2) Le accelerazioni delle tre particelle al momento del taglio
294 - Taglio della corda
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Re: 294 - Taglio della corda
1) Fisso un sistema di riferimento nel piano contenente le tre particelle, tale che il centro di massa del sistema si trovi nell'origine e che, inizialmente, valga . Dopo il taglio della corda tra e , restano costanti le distanze , mentre l'angolo varia. Sia il suo valore in funzione del tempo. Chiaramente, il moto di e è simmetrico rispetto all'asse delle , e il moto di si svolge su questa retta. Le posizioni delle tre particelle in funzione del tempo sono allora:
Subito dopo
Derivando rispetto al tempo:
Perciò l'energia cinetica del sistema è:
L'unica energia potenziale a variare nel tempo è quella dovuta all'interazione tra e . La distanza tra le due cariche vale , perciò l'energia potenziale elettrica vale:
Per conservazione dell'energia si ha allora:
Si vede facilmente che la funzione qui sopra è massima per , perciò il massimo valore di è:
2) Subito dopo il taglio, sia la tensione nelle due corde rimanenti, identica per simmetria. Per conservazione della q.d.m., inoltre, le accelerazioni hanno la forma:
Dalla Seconda Legge di Newton, si ha allora:
Infine, data l'inestensibilità delle corde restanti, e poiché tutte le cariche sono inizialmente ferme, si ha:
Risolvendo, si trova:
Subito dopo
Derivando rispetto al tempo:
Perciò l'energia cinetica del sistema è:
L'unica energia potenziale a variare nel tempo è quella dovuta all'interazione tra e . La distanza tra le due cariche vale , perciò l'energia potenziale elettrica vale:
Per conservazione dell'energia si ha allora:
Si vede facilmente che la funzione qui sopra è massima per , perciò il massimo valore di è:
2) Subito dopo il taglio, sia la tensione nelle due corde rimanenti, identica per simmetria. Per conservazione della q.d.m., inoltre, le accelerazioni hanno la forma:
Dalla Seconda Legge di Newton, si ha allora:
Infine, data l'inestensibilità delle corde restanti, e poiché tutte le cariche sono inizialmente ferme, si ha:
Risolvendo, si trova:
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Re: 294 - Taglio della corda
Perfetto, vai pure col prossimo!