293. Oscillazioni nel cubo
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293. Oscillazioni nel cubo
È dato un cubo fisso di lato , avente una densità di carica costante e uniforme. Una particella puntiforme di massa e carica , tale che , è costretta a muoversi lungo una retta fissa passante per il centro del cubo, senza alcun tipo di attrito. Si trovi il periodo delle sue piccole oscillazioni attorno al centro del cubo.
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Re: 293. Oscillazioni nel cubo
Confesso che è la prima volta che considero un'equazione di Maxwell in forma differenziale. Suppongo di istituire un sistema di riferimento Oxyz nel centro del cubo e di immaginare che la carica negativa q sia costretta ad avvicinarsi al centro del cubo lungo l'asse x di equazioni y=0 z=0. Lo scalare può ridursi solo al primo termine poichè le altre due componenti sono nulle lungo x. Allora per la prima equazione di Maxwell in forma differenziale risulta . Fuori dal cubo la divergenza è nulla e nel centro O del cubo il campo dovrebbe annullarsi per simmetria. Allora integrando fra 0 e x mi pare che verrebbe. Pertanto la forza agente sulla carica -q risulterebbe e l'equazione della dinamica sarebbe quella di un moto armonico . Da qui la pulsazione risulta e quindi Ma non si distinguono le piccole oscillazioni e la mia soluzione mi appare semplice rispetto alle tue usuali proposte. Inoltre chi ne sa molto più di me tace.
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Re: 293. Oscillazioni nel cubo
Il risultato è sbagliato.
Hint: si consideri il principio di sovrapposizione lineare.
Questo è falso, e non mi è chiaro cosa intendi scrivendo che le altre due componenti sono nulle lungo . Inoltre nota che, essendo , avresti dovuto ottenere un segno meno sotto radice.
Hint: si consideri il principio di sovrapposizione lineare.
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Re: 293. Oscillazioni nel cubo
Ecco cosa intendevo.Io ho pensato che, muovendosi sull'asse x , y=0 e z=0, non poteva esserci una variazione delle componenti di E in quelle direzioni ( che compaiono nella divergenza) perchè, per apprezzarle, y e z dovevano variare e non rimanere 0. Purtroppo non capisco perchè sbaglio. Ci rifletterò ancora. Sovrapposizione lineare vuol dire che nella divergenza le considero allo stesso titolo integrando successivamente rispetto a x,y e z?
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Re: 293. Oscillazioni nel cubo
e sono funzioni di , il loro valore non dipende dalla direzione in cui si muove la particella. Quello che dici sul loro annullarsi è un errore logico.
Comunque consiglio di lasciar stare la forma differenziale della Legge di Gauss: benché esista una soluzione basata su di essa (un po' contorta), ce n'è un'altra molto più olimpica e interessante fondata sul principio di sovrapposizione (ad esempio, una zona con densità di carica nulla può essere considerata sovrapposizione di due densità di ugual modulo e segno opposto). Prova a immaginare come sfruttare le simmetrie per scrivere in maniera comoda la forza agente sulla carica.
Comunque consiglio di lasciar stare la forma differenziale della Legge di Gauss: benché esista una soluzione basata su di essa (un po' contorta), ce n'è un'altra molto più olimpica e interessante fondata sul principio di sovrapposizione (ad esempio, una zona con densità di carica nulla può essere considerata sovrapposizione di due densità di ugual modulo e segno opposto). Prova a immaginare come sfruttare le simmetrie per scrivere in maniera comoda la forza agente sulla carica.
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Re: 293. Oscillazioni nel cubo
Avrei ottenuto , ormai la soluzione la posterò domani
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Re: 293. Oscillazioni nel cubo
Ti sei scordato la massa, per il resto è giusto.
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Re: 293. Oscillazioni nel cubo
Non credo corrisponda alla soluzione a cui stavi pensando, ma pare funzionare
In un sistema di assi cartesiani paralleli alle tre facce, supponiamo che la particella si sposti di e calcoliamo il campo elettrico parallelo ad esso al primo ordine. Consideriamo il parallelepipedo rettangolo centrato nella carica, di lati , tale che tre delle sue facce coincidano (parzialmente) con quelle del cubo; per simmetria, la forza che esso esercita sulla carica sarà nulla, quindi basta considerare la forza data dalla parte restante del cubo.
Possiamo scomporre la carica rimasta in 3 parallelepipedi di spessore infinitesimo (rispettivamente di lati , , , tre parallelepipedi con due lati di lunghezza infinitesima e un ultimo parallelepipedo con 3 lati infinitesimi. Questi ultimi daranno solo contributi al secondo ordine o più alto al campo elettrico, quindi possiamo trascurarli.
Calcoliamo la componente del campo generato dalla prima "lastra" lungo la direzione di movimento della carica: Si avrà
dove si è sfruttato il fatto che il coseno dell'angolo tra due vettori è
Al primo ordine, l'integrale diventa
Tuttavia, si ha
visto che stiamo integrando funzioni dispari su un dominio pari.
Ci resta da calcolare l'ultimo termine, ovvero
Notando ancora che il dominio è pari, sostituendo , diventa
Si può dimostrare (in un secondo post ) che il doppio integrale tra parentesi vale
Inoltre, dal teorema fondamentale del calcolo integrale si ha, al primo ordine,
Quindi, vale
Analogamente, si otterrà , , quindi la forza esercitata sulla carica vale
Infine, si trova facilmente che la frequenza delle piccole oscillazioni vale .
In un sistema di assi cartesiani paralleli alle tre facce, supponiamo che la particella si sposti di e calcoliamo il campo elettrico parallelo ad esso al primo ordine. Consideriamo il parallelepipedo rettangolo centrato nella carica, di lati , tale che tre delle sue facce coincidano (parzialmente) con quelle del cubo; per simmetria, la forza che esso esercita sulla carica sarà nulla, quindi basta considerare la forza data dalla parte restante del cubo.
Possiamo scomporre la carica rimasta in 3 parallelepipedi di spessore infinitesimo (rispettivamente di lati , , , tre parallelepipedi con due lati di lunghezza infinitesima e un ultimo parallelepipedo con 3 lati infinitesimi. Questi ultimi daranno solo contributi al secondo ordine o più alto al campo elettrico, quindi possiamo trascurarli.
Calcoliamo la componente del campo generato dalla prima "lastra" lungo la direzione di movimento della carica: Si avrà
dove si è sfruttato il fatto che il coseno dell'angolo tra due vettori è
Al primo ordine, l'integrale diventa
Tuttavia, si ha
visto che stiamo integrando funzioni dispari su un dominio pari.
Ci resta da calcolare l'ultimo termine, ovvero
Notando ancora che il dominio è pari, sostituendo , diventa
Si può dimostrare (in un secondo post ) che il doppio integrale tra parentesi vale
Inoltre, dal teorema fondamentale del calcolo integrale si ha, al primo ordine,
Quindi, vale
Analogamente, si otterrà , , quindi la forza esercitata sulla carica vale
Infine, si trova facilmente che la frequenza delle piccole oscillazioni vale .
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Re: 293. Oscillazioni nel cubo
Mi perdonerai se mi fido dei conti e non li controllo tutti, hai ottenuto il fattore numerico corretto con un procedimento logicamente esatto e quindi è abbastanza improbabile che tu li abbia sbagliati. Tuttavia, dato che esiste un modo molto olimpico per evitare tutti quegli integrali, ti invito a cercarlo prima di postare il prossimo problema.
Hint: Terza Legge di Newton
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Re: 293. Oscillazioni nel cubo
Sì certo, sospettavo ce ne fosse una più semplice