280. Flusso di calore
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280. Flusso di calore
Sono dati due grandi piani paralleli, a distanza
l'uno dall'altro, tenuti alle temperature
e
con
. L'area dei piani è molto maggiore di
. Lo spazio fra i due piani è riempito con un gas ideale di massa molare
e densità molare
. Si assuma che il libero cammino medio del gas in queste condizioni sia molto maggiore di
, e si trascuri la radiazione di corpo nero. Si ipotizzi inoltre che, quando una particella di gas colpisce uno dei due piani, ne assume istantaneamente la temperatura. In queste condizioni, determimare o stimare (il coefficiente numerico può non essere esatto) il calore trasmesso per unità di area e di tempo fra i due piani.
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Re: 280. Flusso di calore
Hint: considerare il moto di una particella di gas che "rimbalza" tra i due piani.
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Re: 280. Flusso di calore
Sia x un asse perpendicolare ai due piani; userò il pedice
per riferirmi alle particelle che si muovono dal piano caldo a quello freddo,
per le altre.
Sia
la velocità media (in modulo) delle molecole alla temperatura
. Usando la distribuzione di Maxwell, si ottiene
.
Nell'urto con uil piano più freddo,
molecole trasmetteranno un calore
e la velocità di ognuna cambierà da
a
(o viceversa nell'urto con il piano più caldo), senza però che vari il rapporto
. Consideriamo tutte le particelle con lo stesso valore di
(quindi con il vettore velocità inclinato dello stesso angolo rispetto all'asse x), e supponiamo di essere in uno stato stazionario, in cui l'intensità del flusso di calore è costante nel tempo: ciò è possibile solo se il numero di particelle che colpiscono il piano freddo in un tempo
è pari al numero di quelle che colpiscono quello caldo. Detta quindi
la densità molare di molecole che si muovono dal caldo al freddo,
quella opposta, con
, si dovrà avere
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\textup{d}N_1=n_1Av_{1x}\textup{d}t=\textup{d}N_2=n_2Av_{2x}\textup{d}t \Rightarrow n_1=\frac{nv_{2x}}{v_{1x}+v_{2x}}=\frac{n\sqrt{T_2}}{\sqrt{T_1}+\sqrt{T_2}})
Di conseguenza, il contributo infinitesimo all'intensità del flusso dato dalle molecole con velocità lungo l'asse x compresa tra
e
è
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\textup{d}I=\frac{3}{2}kn(T_1-T_2)\frac{\sqrt{T_2}}{\sqrt{T_1}+\sqrt{T_2}}v_{1x}\textup{d}P)
dove
indica il rapporto tra il numero di tali molecole e quello totale di molecole che si muovono dal piano caldo al piano freddo.
Perciò l'intensità totale sarà data da![](http://latex.codecogs.com/png.latex?I=\frac{3}{2}kn(T_1-T_2)\frac{\sqrt{T_2}}{\sqrt{T_1}+\sqrt{T_2}}\left \langle v_{1x} \right \rangle)
dove
è il valore medio della loro velocità di quest'ultime lungo l'asse x.
Visto che, per ognuna di queste molecole, si può scrivere
, con
compresi tra
e
, si avrà ![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\left \langle v_{1x} \right \rangle = \frac{\left \langle v_1 \right \rangle}{\pi^2}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}\textup{sin}\theta \textup{sin}\phi \textup{d}\theta \textup{d}\phi = \frac{4}{\pi^2}\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}})
Quindi,![](http://latex.codecogs.com/png.latex?I=\frac{12\sqrt2}{\pi^{5/2}}\textup{k}n(T_1-T_2)\sqrt{\frac{RT_1T_2}{M(\sqrt{T_1}+\sqrt{T_2})^2}}=\frac{12\sqrt2}{\pi^{5/2}}\textup{k}n(\sqrt{T_1}-\sqrt{T_2})\sqrt{\frac{RT_1T_2}{M}})
Sia
Nell'urto con uil piano più freddo,
Di conseguenza, il contributo infinitesimo all'intensità del flusso dato dalle molecole con velocità lungo l'asse x compresa tra
dove
Perciò l'intensità totale sarà data da
dove
Visto che, per ognuna di queste molecole, si può scrivere
Quindi,
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Re: 280. Flusso di calore
Direi che ci siamo, la staffetta è tua, tuttavia ti invito a sostituire
a
(
è densità molare) e a rivedere meglio il tuo calcolo di
, che è sbagliato e ti porta a un coefficiente numerico errato.
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Re: 280. Flusso di calore
1) Sì, mi sono scordato un
nel calcolo delle particelle che urtano il piano.
2) In effetti tornava strano anche a me
Correggerei così: consideriamo una semisfera di raggio unitario sezionata in due dal piano
; sia
l'angolo di un vettore di modulo unitario formato con l'asse
. La probabilità che la proiezione sull'asse x di questo vettore sia compresa tra
e
è
. La stessa cosa può essere fatta con il vettore
; visto che
, allora
, quindi il risultato finale dovrebbe essere
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?I=3n(\sqrt{T_1}-\sqrt{T_2})\sqrt{\frac{R^3T_1T_2}{2\pi M}})
2) In effetti tornava strano anche a me
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Correggerei così: consideriamo una semisfera di raggio unitario sezionata in due dal piano
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Re: 280. Flusso di calore
Adesso è perfetto! ![Very Happy :D](./images/smilies/icon_e_biggrin.gif)
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Re: 280. Flusso di calore
Mi rimane un dubbio: perché l'assunzione
? In linea teorica non dovrebbe funzionare lo stesso anche se le due temperature fossero vicine?
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Re: 280. Flusso di calore
L'assunzione serviva solamente a permettere di scrivere il risultato in una forma più elegante, come
![Laughing :lol:](./images/smilies/icon_lol.gif)
Chiaramente il tuo risultato vale anche per
, e infatti dà
per
, come dovrebbe essere nel caso di equilibrio.
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Chiaramente il tuo risultato vale anche per
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