I problemi del corridore

[Xalexalex]

... che non sono periostiti o traumi tendinei, ma i problemi che mi saltano in mente, mentre scarpino su lungomare

1) CINEMATICA PER I BIMBINI (Easy)

Alessandro e Martina partono per un percorso di lunghezza L, che percorrono a velocita' costante K. Siccome però Alessandro è reduce da tre mesi di fermo e non vuole rifarsi tanto male, decide di fermarsi a 1/2 L, e di proseguire paseggiando ad una velocita' 1/2 K. Nel frattempo Martina continua a correre per il percorso, arriva alla fine, torna indietro. In che punto del percorso si reincontreranno i due?
[Complicazione a piacere 1] Dite come varia la vostra risposta se Alessandro si ferma ad una lunghezza xL, dove x è compreso tra 0 e 1. (i.e. non si ferma a meta').
[Complicazione a piacere 2] Dite come varia la vostra risposta se, oltre alla Complicazione 1, Alessandro non passeggia a velocita' 1/2 K, ma a velocita' yK (0 < y < 1)

2) IL FURGONCINO (Mica tanto easy)
Mentre Alessandro sta correndo su lungomare, vede che un autista ha lasciato gli sportelli posteriori del suo Fiorino aperti, ed e' partito lo stesso (supponiamo per semplicita' che sia partito, e ora si muova con v costante con gli sportelli aperti). Dite cosa deve fare l'autista per far chiudere gli sportelli, tenendo presente che uno sportello va chiuso prima dell'altro, altrimenti la serratura non si blocca. Per questo primo punto potete assumere che gli sportelli siano rimasti aperti entrambi con lo stesso angolo. Dite se c'e' un angolo limite per cui ogni manovra rende impossibile la chiusura.
[Complicazione complicata 1] Dite come varia la vostra risposta se gli sportelli NON sono aperti con lo stesso angolo

Divertitevi, e fate presenti tutte le semplificazioni / assunzioni che avete fatto.

[MrTeo]

Proviamo il primo e per il secondo ci penso ancora un po'...
Chiarimenti: è il tratto che Alessandro percorre mentre Martina finisce il percorso, quello che fa per incontrarsi con Martina, quello fatto all'indietro da Martina.

Nel caso più generale possibile abbiamo:




Nel primo caso invece tutto si riduce a:





Che ne dite?

[Hope]

Da quello che ho capito hai messo la distanza in cui si incontrono i 2 corridori dall origine
da quello che hai posto come Sa1 e Sa2 ed sm dovrebbe essere


dove e che sbaglia il mio ragionamento?

[MrTeo]

dove e che sbaglia il mio ragionamento?

A parte il fatto che c'è una probabilità non trascurabile che l'errore sia mio (quindi tira fuori dalla naftalina la tua autostima e dalle una bella scossa )... io avevo posto:



Perchè nel momento in cui Alessandro inizia a camminare percorre prima il tratto , poi mentre Martina corre indietro il tratto e invece lei percorre di corsa un tratto , quindi tutti questi assieme dovrebbero essere uguali (per trovare il punto in cui si incontrano) al tratto di pista che resta a percorrere da Alessandro quando si ferma (che è )

Spero sia tutto chiaro

[Ippo]

Furgoncino, caso semplificato (angoli uguali).

Siamo nel riferimento non inerziale solidale col furgoncino che decelera, supponiamo con accelerazione costante diretta secondo il senso di marcia.
Vediamo quindi agire sui c.d.m. degli sportelli (che visti dall'alto sono dei segmenti liberi di oscillare supponiamo senza attrito attorno ai cardini) una forza costante, nella direzione di marcia e verso il furgone. Allora, soddisfatte alcune condizioni*, i due sportelli si chiudono contemporaneamente e rimbalzano l'uno contro l'altro: male
ma allora, se il furgone mentre frena sterza un pochettino dalla parte dello sportello che deve chiudersi per primo, la forza agente sugli sportelli non è più diretta secondo il senso di marcia e quindi dà luogo ad un momento un po' più intenso su uno sportello che sull'altro. Si ha un piccolo sfasamento temporale che permette agli sportelli di non giungere contemporaneamente e quindi di chiudersi in modo soddisfacente.

* gli sportelli hanno massa m, visti dall'alto sono aste di lunghezza L. a è l'accelerazione del furgone. La forza su ciascuno sportello è ; il momento che essa genera è dove è l'inclinazione in un certo istante degli sportelli rispetto alla direzione di marcia.
L'inerzia di uno sportello è
Possiamo definire un potenziale (abbiamo un campo gravitazionale uniforme sostanzialmente), fissare uno zero nella posizione di chiusura e scrivere
Allora la conservazione dell'energia ci dà dove è l'energia potenziale della situazione iniziale, in cui l'angolo è
Si ricava
che si può scirvere anche



L' aiuto del pubblico ( ) mi dice che l'integrale mostruoso qui sopra fa

perciò si ha

Per avere la chiusura (senza inserire la retromarcia XD) deve essere cioè c'è un limite inferiore alla velocità che il furgone deve avere prima di frenare; questo limite varia ovviamente in funzione dell'angolo iniziale degli sportelli.
Ora però c'è una brutta cosa. La prima arcotangente iperbolica nell'espressione di T è infinita per ogni (si applicano le formule di duplicazione e si vede che la roba tra parentesi è 1). Questo è assurdo, ci dev'essere un errore da qualche parte. (non è nell'integrale - si vede anche prima di farlo che viene infinito... mah)

[Falco5x]

Problema del furgoncino.
Qua voglio ragionare proprio in soldoni, sia perché odio gli integrali difficili sia perché voglio semplificare al massimo il ragionamento: infatti sono sicuro che l'autista del furgoncino non è laureato alla Normale (salvo gravissimi problemi di occupazione per i laureati, sui quali non è questo il luogo adatto per dibattere), dunque bisogna dargli istruzioni semplici .
Per quanto già detto da altri sembra assodato che la manovra giusta sia quella di rallentare e contemporaneamente curvare dalla parte dove c'è lo sportello che si deve chiudere per primo.
Allora userò le seguenti simbologie:
R = raggio di curvatura misurato dall'asse centrale del furgoincino
L = larghezza di uno sportello
x = ascissa lungo lo sportello (dal cardine x=0 all'estremo x=L)
= angolo di apertura dello sportello (=0 con sportello chiuso)
= decelerazione angolare lungo la curva del furgoncino
a = decelerazione lineare del furgoncino
= velocità angolare del furgoncino
v = velocità lineare del furgoncino
= velocità lineare iniziale del furgoncino (quando inizia a frenare)
= densità di massa lineare dello sportello

E' evidente che se si vuole che lo sportello esterno alla curva si chiuda è necessario che sia almeno , altrimenti questo si aprirà ulteriormente sia a causa della decelerazione sia a causa della curva. Limitiamoci pertanto a esaminare casi con angolo minore di 90°.
Ora mettendoci in un sistema solidale col furgoncino e guardando le forze che agiscono sugli sportelli, cioè quella dovuta alla decelerazione e quella centrifuga, si vede che sullo sportello interno non ci sono problemi, nel senso che entrambe le forze agiscono in qualsiasi punto dello sportello in modo da produrre sul cardine un momento che tende a chiuderlo. Si vede anche che, invece, sullo sportello esterno la forza dovuta alla decelerazione produce sul cardine un momento che tende a chiuderlo, mentre quella dovuta alla forza centrifuga produce, al contrario, un momento che si oppone alla chiusura. L'angolo limite, dunque, deve essere impostato con riferimento a questo secondo sportello.
Per questo sportello scrivo l'equazione del momento infinitesimo riferito a una sua ascissa x qualsiasi:



Integrando ottengo:



Per semplificare pongo adesso la condizione che il raggio della curva sia molto maggiore della larghezza dello sportello:



Imponendo questa approssimazione ottengo:



Faccio adesso un'ulteriore semplificazione; per essere proprio sicuro che lo sportello si chiuda impongo che il momento sia favorevole già fin dall'istate iniziale (che è anche quello meno favorevole alla chiusura, e quindi mi cautelo), quando cioè
Pervengo così alla semplice regola seguente:



Da notare che nelle condizioni suddette il momento sullo sportello esterno è sempre minore (in modulo) rispetto al momento sullo sportello interno, il quale pertanto si chiude sicuramente prima.