Dalle Dispense di Fabio Zoratti:
Un disco di raggio è fissato rigidamente ad un piano orizzontale, e in punto del suo bordo è fissato un filo inestensibile di lunghezza . All’altro estremo è fissata una massa che viene lanciata con velocità iniziale di modulo in direzione perpendicolare al filo. Calcolare in funzione del tempo:
a) la velocità della massa;
b) la sua traiettoria;
c) la tensione del filo.
185. Filo che si avvolge.
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185. Filo che si avvolge.
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Re: 185. Filo che si avvolge.
Ciao! Sono nuovo del forum, provo a rispondere anche se essendo al quarto non ho molta familiarità con le equazioni differenziali più difficili.
Scusami ma non sono molto familiare con il LaTeX, quindi faccio ciò che posso
Innanzitutto considero un sistema di coordinate polari che ha origine nel centro del disco, con che è l'angolo che spazza la parte di filo "arrotolata" al disco.
Se chiamo il vettore posizione della massa m allora:
vado a trovarmi la velocità, derivando rispetto al tempo e ricordando che
allora
considerando che il modulo della velocità è
che è sempre normale al filo, quindi alla tensione. Derivo ulteriormente trovando l'accelerazione
siccome l'unica forza agente è la tensione , che ha direzione , il secondo principio della dinamica ci dice che (1) e (2) . Quindi v è costante tutto il tempo, possiamo quindi ottenere a partire da
integrando in rispetto al tempo abbiamo che
da cui ottengo (escludendo il segno + dal grazie alle condizioni iniziali, ossia che ) che
derivando l'espressione e sostituendo nella 2, otteniamo che
Per quanto riguarda la traiettoria, devo trovare un modo di esplicitarla, magari in coordinate polari, comunque intuisco sia una spirale. Spero di non aver sbagliato i conti o la sintassi (cosa che sono sicuro avverrà)
Scusami ma non sono molto familiare con il LaTeX, quindi faccio ciò che posso
Innanzitutto considero un sistema di coordinate polari che ha origine nel centro del disco, con che è l'angolo che spazza la parte di filo "arrotolata" al disco.
Se chiamo il vettore posizione della massa m allora:
vado a trovarmi la velocità, derivando rispetto al tempo e ricordando che
allora
considerando che il modulo della velocità è
che è sempre normale al filo, quindi alla tensione. Derivo ulteriormente trovando l'accelerazione
siccome l'unica forza agente è la tensione , che ha direzione , il secondo principio della dinamica ci dice che (1) e (2) . Quindi v è costante tutto il tempo, possiamo quindi ottenere a partire da
integrando in rispetto al tempo abbiamo che
da cui ottengo (escludendo il segno + dal grazie alle condizioni iniziali, ossia che ) che
derivando l'espressione e sostituendo nella 2, otteniamo che
Per quanto riguarda la traiettoria, devo trovare un modo di esplicitarla, magari in coordinate polari, comunque intuisco sia una spirale. Spero di non aver sbagliato i conti o la sintassi (cosa che sono sicuro avverrà)
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Re: 185. Filo che si avvolge.
La soluzione è corretta! Ci sono solo degli errori che penso essere di battitura (dove hai scritto le derivate dei versori e dove hai scritto l'accelerazione), ma nulla di rilevante.
Per la traiettoria, aspetto ancora qualche giorno prima di postare la soluzione (nel caso qualcun altro volesse provarci). Intanto, puoi tranquillamente postare il 186!
Per la traiettoria, aspetto ancora qualche giorno prima di postare la soluzione (nel caso qualcun altro volesse provarci). Intanto, puoi tranquillamente postare il 186!
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Re: 185. Filo che si avvolge.
Beh, per essere onesti east_beast ha già trovato la traiettoria in coordinate polari, avendo scritto che:
ed anche che:
Al più, se uno vuole, prendendo un sistema di riferimento cartesiano con origine nel centro del disco ed orientato in modo che il punto in cui è attaccato il filo sia posto in si ha:
quindi:
ed anche che:
Al più, se uno vuole, prendendo un sistema di riferimento cartesiano con origine nel centro del disco ed orientato in modo che il punto in cui è attaccato il filo sia posto in si ha:
quindi:
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Re: 185. Filo che si avvolge.
Per definizione il prodotto scalare fra due vettori è il modulo del primo per il modulo del secondo per il coseno dell'angolo compreso. Qui si tratta di versori, quindi tutti i moduli fanno 1. Di conseguenza il prodotto scalare fra due versori è semplicemente il coseno dell'angolo compreso. Ora, se fai un disegno di e sul piano cartesiano vedi subito che l'angolo compreso tra e è proprio , l'angolo compreso tra e è , l'angolo compreso tra e è , l'angolo compreso tra e è .
Poi e
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Re: 185. Filo che si avvolge.
Sì, avevo sbagliato a scrivere l'esercizio. La traiettoria non era da calcolare in funzione del tempo (come east_beast ha fatto), ma scrivendo una delle due coordinate della posizione in funzione dell'altra. Per esempio, detta la lunghezza del segmento che congiunge la massa all'origine, e detto l'angolo che questo segmento forma con l'asse delle ascisse, abbiamoNeutrino ha scritto: ↑2 mar 2020, 23:47 Beh, per essere onesti east_beast ha già trovato la traiettoria
da cui, con alcuni passaggi,
equazione che lega e .
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