Scivolando su un piano

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lance00
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Scivolando su un piano

Messaggio da lance00 » 15 dic 2018, 12:52

(i) Un blocco parte da fermo e scivola su un piano inclinato di un angolo . Trovare tale che il blocco percorra una data distanza in orizzontale nel minor tempo possibile . Quanto vale ?
(ii) Aggiungiamo adesso un coefficiente d'attrito dinamico . Trovare e .

Dudin
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Re: 173. Scivolando su un piano

Messaggio da Dudin » 16 dic 2018, 13:23

1) Il blocco scivola con accelerazione diretta lungo il piano inclinato di modulo:

Quindi l'accelerazione lungo l'asse e':

Questa funzione e' massima quando
Quindi l'accelerazione e'
il moto e' uniformemente accelerato perciò il tempo impiegato per percorrere uno spazio b e':

lance00
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Re: Scivolando su un piano

Messaggio da lance00 » 16 dic 2018, 19:14

Giusta :D Adesso prova il punto ii) che è più tosto

Dudin
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Re: Scivolando su un piano

Messaggio da Dudin » 16 dic 2018, 20:27

2)
Stesso procedimento solo che considero la forza di attrito:
L'accelerazione lungo il piano inclinato e':

Da cui ricavo l'accelerazione lungo l'asse x:

Quindi per massimizzare questa funzione faccio la derivata e la pongo uguale a 0:

E' un equazione goniometrica: scrivo tutto in funzione di

Quindi elevo al quadrato:

Da questa relazione posso trovare theta utilizzando l'arcoseno.
Inoltre da questa relazione ricavo anche che:

Non mi resta che sostituire per ricavare

cioe sostituendo:


Infine dato che il moto e' accelerato in modo costante:

Dudin
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Re: Scivolando su un piano

Messaggio da Dudin » 16 dic 2018, 20:33

il segno meno a e' giustificato perche' e' compreso tra 0 e 90 gradi quindi il coseno di e' sicuramente negativo

Dudin
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Re: Scivolando su un piano

Messaggio da Dudin » 16 dic 2018, 21:00

ah mi sono appena accorto di aver scritto una cavolata :lol: :lol:
il segno meno e' giustificato solo se il coefficiente d'attrito e' minore di 1... altrimenti l'angolo sarebbe minore di 45. Comunque credo sia accettabile perche' il coefficiente di attrito dinamico e praticamente sempre minore di 1... altrimenti dovrei fare due casi e uscirebbe un'altra soluzione piu' brutta

lance00
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Re: Scivolando su un piano

Messaggio da lance00 » 16 dic 2018, 21:40

A parte un piccolo typo (g sta al denominatore) la soluzione è perfetta. A te il testimone ;)

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