(i) Un blocco parte da fermo e scivola su un piano inclinato di un angolo . Trovare tale che il blocco percorra una data distanza in orizzontale nel minor tempo possibile . Quanto vale ?
(ii) Aggiungiamo adesso un coefficiente d'attrito dinamico . Trovare e .
Scivolando su un piano
Re: 173. Scivolando su un piano
1) Il blocco scivola con accelerazione diretta lungo il piano inclinato di modulo:
Quindi l'accelerazione lungo l'asse e':
Questa funzione e' massima quando
Quindi l'accelerazione e'
il moto e' uniformemente accelerato perciò il tempo impiegato per percorrere uno spazio b e':
Quindi l'accelerazione lungo l'asse e':
Questa funzione e' massima quando
Quindi l'accelerazione e'
il moto e' uniformemente accelerato perciò il tempo impiegato per percorrere uno spazio b e':
Re: Scivolando su un piano
Giusta Adesso prova il punto ii) che è più tosto
Re: Scivolando su un piano
2)
Stesso procedimento solo che considero la forza di attrito:
L'accelerazione lungo il piano inclinato e':
Da cui ricavo l'accelerazione lungo l'asse x:
Quindi per massimizzare questa funzione faccio la derivata e la pongo uguale a 0:
E' un equazione goniometrica: scrivo tutto in funzione di
Quindi elevo al quadrato:
Da questa relazione posso trovare theta utilizzando l'arcoseno.
Inoltre da questa relazione ricavo anche che:
Non mi resta che sostituire per ricavare
cioe sostituendo:
Infine dato che il moto e' accelerato in modo costante:
Stesso procedimento solo che considero la forza di attrito:
L'accelerazione lungo il piano inclinato e':
Da cui ricavo l'accelerazione lungo l'asse x:
Quindi per massimizzare questa funzione faccio la derivata e la pongo uguale a 0:
E' un equazione goniometrica: scrivo tutto in funzione di
Quindi elevo al quadrato:
Da questa relazione posso trovare theta utilizzando l'arcoseno.
Inoltre da questa relazione ricavo anche che:
Non mi resta che sostituire per ricavare
cioe sostituendo:
Infine dato che il moto e' accelerato in modo costante:
Re: Scivolando su un piano
il segno meno a e' giustificato perche' e' compreso tra 0 e 90 gradi quindi il coseno di e' sicuramente negativo
Re: Scivolando su un piano
ah mi sono appena accorto di aver scritto una cavolata
il segno meno e' giustificato solo se il coefficiente d'attrito e' minore di 1... altrimenti l'angolo sarebbe minore di 45. Comunque credo sia accettabile perche' il coefficiente di attrito dinamico e praticamente sempre minore di 1... altrimenti dovrei fare due casi e uscirebbe un'altra soluzione piu' brutta
il segno meno e' giustificato solo se il coefficiente d'attrito e' minore di 1... altrimenti l'angolo sarebbe minore di 45. Comunque credo sia accettabile perche' il coefficiente di attrito dinamico e praticamente sempre minore di 1... altrimenti dovrei fare due casi e uscirebbe un'altra soluzione piu' brutta
Re: Scivolando su un piano
A parte un piccolo typo (g sta al denominatore) la soluzione è perfetta. A te il testimone