171. Ruotando in una ruota
171. Ruotando in una ruota
Si consideri una circonferenza di raggio R che ruota senza strisciare a velocità angolare costante rimanendo sempre tangente internamente a una circonferenza di raggio 2R. Si determini il moto di un punto generico della circonferenza più piccola rispetto a un osservatore esterno.
Re: 171. Ruotando in una ruota
Ma la circonferenza di raggio 2R è fissata o ruota?
Re: 171. Ruotando in una ruota
Domanda legittima; ho dimenticato di specificare che la circonferenza grande è fissa nello spazio.
Re: 171. Ruotando in una ruota
Allora credo che si abbia, ponendo quando la circonferenza piccola è "sul fondo" della grande,
,
detto l'angolo tra P ed il punto di tangenza rispetto al centro della circonferenza piccola quando , e posto il centro della circonferenza grande nell'origine degli assi. Se così fosse, potrebbe darsi che la traiettoria sia un diametro?
,
detto l'angolo tra P ed il punto di tangenza rispetto al centro della circonferenza piccola quando , e posto il centro della circonferenza grande nell'origine degli assi. Se così fosse, potrebbe darsi che la traiettoria sia un diametro?
Re: 171. Ruotando in una ruota
L'idea del diametro è interessante e ti invito a svilupparla per bene; ti consiglio anche di scegliere un riferimento intelligente per ottenere coordinate più "simpatiche".
Volendo BONUS (ma la soluzione, essendo di mia fattura, potrebbe essere errata...): Determinare il moto di un punto generico nel caso in cui la circonferenza di raggio R ruoti all'interno di una circonferenza di raggio kR con k>2.
EDIT: Pare che i grafici su Desmos diano risultati positivi in proposito, per le coordinate!
Volendo BONUS (ma la soluzione, essendo di mia fattura, potrebbe essere errata...): Determinare il moto di un punto generico nel caso in cui la circonferenza di raggio R ruoti all'interno di una circonferenza di raggio kR con k>2.
EDIT: Pare che i grafici su Desmos diano risultati positivi in proposito, per le coordinate!
Re: 171. Ruotando in una ruota
Riguardo al sistema di riferimento, posso abbellire le coordinate considerando che è abbastanza inutile. Prendo gli assi cartesiani in modo che in valga . Segue . Allora si avrebbe
.
Così è evidente che si tratta sempre di un diametro: può infatti variare nell'intervallo .
Ti riferisci alle mie coordinate? Oppure ho sbagliato qualche conto?
Re: 171. Ruotando in una ruota
Con i grafici mi riferisco alle rappresentazioni dei vari casi (quindi alla soluzione del bonus). Comunque ti chiedo di postare i conti e da dove escono, in quanto c'è qualcosa che non torna (la scelta del riferimento è però quella giusta).
Re: 171. Ruotando in una ruota
Io avevo fatto questo ragionamento:
Arco percorso dalla circonferenza piccola: . Dunque l'angolo corrispondente rispetto al centro della circonferenza grande si può trovare in questo modo: , da cui . Posizione del centro della circonferenza piccola:
Se consideriamo un sistema di riferimento con gli assi paralleli a quelli del sistema di riferimento scelto, ma con origine nel centro della circonferenza piccola, vediamo che l'angolo tra P ed il punto di tangenza in un dato istante è , mentre l'angolo tra la verticale ed il punto di tangenza è . Dunque l'angolo tra la verticale e P è .
Segue che in questo sistema di riferimento "secondario" e .
Riportiamo queste coordinate nel sistema di riferimento "principale":
.
Mi ero dimenticato di dire che la circonferenza piccola gira con velocità angolare in senso orario, mentre percorre in senso antiorario la circonferenza grande...
La cosa può avere senso?
Arco percorso dalla circonferenza piccola: . Dunque l'angolo corrispondente rispetto al centro della circonferenza grande si può trovare in questo modo: , da cui . Posizione del centro della circonferenza piccola:
Se consideriamo un sistema di riferimento con gli assi paralleli a quelli del sistema di riferimento scelto, ma con origine nel centro della circonferenza piccola, vediamo che l'angolo tra P ed il punto di tangenza in un dato istante è , mentre l'angolo tra la verticale ed il punto di tangenza è . Dunque l'angolo tra la verticale e P è .
Segue che in questo sistema di riferimento "secondario" e .
Riportiamo queste coordinate nel sistema di riferimento "principale":
.
Mi ero dimenticato di dire che la circonferenza piccola gira con velocità angolare in senso orario, mentre percorre in senso antiorario la circonferenza grande...
La cosa può avere senso?
Re: 171. Ruotando in una ruota
La soluzione è corretta! Non mi tornava perchè il dato del problema era la velocità angolare della circonferenza piccola rispetto a quella grande. Se ti va puoi risolvere il bonus (ti invito a graficare poi su Desmos con k intero, escono delle figure a mio avviso molto carine), ma in ogni caso il testimone è tuo.