166. Sale o scende?
166. Sale o scende?
Una sbarra di metallo di densità non uniforme è appesa al soffitto tramite due corde elastiche legate alle sue estremità. La sbarra è disposta orizzontalmente. Se si taglia uno dei due elastici, immediatamente dopo il taglio, l'estremità ancora appesa si muoverà verso l'alto o verso il basso?
Re: 166. Sale o scende?
Indico con A e B i due estremi e con C il centro di massa.
Sull'estremo A agisce una forza
,in B una forza ![](http://latex.codecogs.com/png.latex?F_{b})
Dato che la distribuzione della massa non e' uniforme chiamo![](http://latex.codecogs.com/png.latex?AC=x,CB=y)
e imponendo che il sistema sia in equilibrio ottengo che:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?F_{a}=mg \frac{y}{x+y})
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?F_{b}=mg \frac{x}{x+y})
Senza perdere generalita' suppongo che il filo staccato sia quello in B.
Sicuramente un momento dopo il taglio la forza
e' rimasta invariata e ovviamente continua ad agire la forza di gravita'.
Per determinare se il punto A sale o scende e' sufficiente determinare l'accelerazione netta in A.
(accelerazione dovuta alla traslazione rivolta verso il basso)
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?a_{1}= \frac{mg-F_{a}}{m}=g\frac{x}{x+y})
ovviamente il corpo oltre a traslare ruota quindi devo considerare anche l'accelerazione angolare (attorno al cdm e rivolta verso l'alto):
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\alpha = \frac{F_{a}*x}{I}=mg\frac{xy}{(x+y)*I} \rightarrow a_{2}= \alpha x=mg\frac{x^2y}{(x+y)*I})
(dove I e il momento di inerzia)
Quindi sommo vettorialmente le due accelerazioni ipotizzando che la risultante sia positiva:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?a_{tot}>0 \rightarrow a_{2}-a_{1}>0 \rightarrow mg\frac{x^2y}{(x+y)*I} -g\frac{x}{x+y} >0 \rightarrow mxy > I)
Quindi l'accelerazione e' diretta verso l'alto se e solo se vale l'ultima relazione scritta.
D'altro canto il momento di inerzia e' massimo se tutta la massa e' distribuita completamente agli estremi del filo e in quel caso vale:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex? I =(m\frac{y}{x+y})x^2+(m\frac{x}{x+y})y^2 =mxy )
Quindi in ogni caso il momento di inerzia e' minore di
e di conseguenza l'accelerazione netta e' sempre diretta verso l'alto cioe' il punto A sale.
Sull'estremo A agisce una forza
Dato che la distribuzione della massa non e' uniforme chiamo
e imponendo che il sistema sia in equilibrio ottengo che:
Senza perdere generalita' suppongo che il filo staccato sia quello in B.
Sicuramente un momento dopo il taglio la forza
Per determinare se il punto A sale o scende e' sufficiente determinare l'accelerazione netta in A.
(accelerazione dovuta alla traslazione rivolta verso il basso)
ovviamente il corpo oltre a traslare ruota quindi devo considerare anche l'accelerazione angolare (attorno al cdm e rivolta verso l'alto):
(dove I e il momento di inerzia)
Quindi sommo vettorialmente le due accelerazioni ipotizzando che la risultante sia positiva:
Quindi l'accelerazione e' diretta verso l'alto se e solo se vale l'ultima relazione scritta.
D'altro canto il momento di inerzia e' massimo se tutta la massa e' distribuita completamente agli estremi del filo e in quel caso vale:
Quindi in ogni caso il momento di inerzia e' minore di
Re: 166. Sale o scende?
yesss posta pure il 167 ![Wink ;)](./images/smilies/icon_e_wink.gif)
![Wink ;)](./images/smilies/icon_e_wink.gif)
Re: 166. Sale o scende?
anzi, prima spiega un po' meglio perchè il momento d'inerzia massimo ce l'hai quando le masse sono alle estremità (hai anche delle condizioni sul baricentro da rispettare quindi non è detto che venga così)
Re: 166. Sale o scende?
Perdinci, sento puzza di problemino di flaffo, #111
Re: 166. Sale o scende?
Ops, prossima volta controllo
Re: 166. Sale o scende?
In realtà non so come dimostrarlo ![Shocked :shock:](./images/smilies/icon_eek.gif)
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Re: 166. Sale o scende?
Ti do comunque il testimone, a parte quello la soluzione è perfetta
nel caso ti venisse in mente prova a scrivere la dimostrazione ( un consiglio: potrebbe esserti utile il teorema degli assi paralleli)
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_e_biggrin.gif)