http://it.youtube.com/watch?v=MqDAf_lg9Xs
non è precisamente un problema teorico, ma lo ritengo comunqe interessante...
complimenti a parte per lo spettacolo, riusciamo a dare una descrizione quantitativa del moto delle palline?
juggling phisics
juggling phisics
Physics is like sex: sure, it may give some practical results, but that's not why we do it.
[R. P. F.]
[R. P. F.]
Re: juggling phisics
Mmmh... con metodi olimpici lo vedo arduo, ma forse è utile impostarlo e vedere cosa viene. Chi ci prova?
Re: juggling phisics
magari cominciando a trascurare l'attrito e la resistenza dell'aria
La Fisica è quello che fanno i fisici la notte tardi
-
memedesimo
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Re: juggling phisics
Nel caso senza attrito, con la conservazione dell'energia e del momento angolare (nella direzione dell'asse del cono) si dovrebbero poter dare alcune conclusioni anche con metodi olimpici.
Provateci!
Provateci!
-
memedesimo
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Re: juggling phisics
Tento di darvi qualche hint, così forse qualcuno si cimenterà col problema:
Una pallina puntiforme di massa
può scorrere senza attrito all'interno della superficie di un cono di apertura 
(con apertura intendo l'angolo che c'è al vertice del cono, per esempio se il cono degenerasse in un piano quest'angolo diventerebbe 
).
Supponiamo che sulla pallina agisca la gravità, e che inizialmente essa si trovi ad un'altezza
dal vertice del cono (il cono è disposto ovviamente con l'asse verticale e il vertice in basso, proprio come nel filmino).
Supponiamo che la pallina abbia una certa velocità iniziale
, che converrà scomporre in due componenti: una nella stessa direzione della retta che congiunge la pallina al vertice del cono, e l'altra nella direzione perpendicolare a questa (ovviamente si suppone che la pallina non si stacchi dalla superficie interna del cono). Chiameremo queste due componenti della velocità rispettivamente 
e 
dove p sta per parallelo e t per tangenziale (per le stesse quantità all'istante iniziale aggiungere uno zero. I nomi sono un po' forzati ma non mi viene in mente niente di meglio)
Domanda 1)
Quali sono le condizioni sulla velocità iniziale affinchè l'altezza della pallina rimanga costante, fissati gli altri dati del problema? (ovvero la pallina, rimanendo sempre alla stessa altezza, fa un moto circolare). Calcolare il periodo di questo moto circolare.
Domanda 2)
Scrivere l'energia della pallina a un istante generico in funzione dell'altezza a cui si trova, della velocità scomposta in componenti e della massa. Si conserva?
Scrivere il momento angolare della pallina rispetto al vertice del cono all'istante iniziale (bisogna usare le espressioni vettoriali delle cose). Si conserva? Perchè?
[La risposta a questa domanda deve essere data in termini di e e non di 
.]
[Si ricorda che il momento angolare è
, dove 
è il vettore che congiunge il punto rispetto a cui si vuole calcolare il momento angolare alla massa, e è la velocità dell'oggetto]
Domanda 3)
Consideriamo solo la componente del momento angolare lungo l'asse del cono (il momento angolare è una quantità vettoriale). Si conserva? Perchè?
Calcolarla a un istante generico del moto in funzione di e dell'altezza 
[Hint:il momento delle forze, inteso come quantità vettoriale, è nullo nella direzione dell'asse del cono.]
Domanda 4)
Sfruttando la risposta alla domanda 3, ricavare dall'espressione del momento angolare e sostituirlo nell'espressione dell'energia.
Sfruttare adesso quest'espressione per spiegare perchè esiste un'altezza minima al di sotto della quale la pallina non può andare. Analogamente per un'altezza massima.
Calcolare queste due altezze, in funzione dei dati iniziali.
Spero che ci sia tutto, che sia comprensibile e di non essere stato pedante. Se nella domanda 4 vi viene un'equazione brutta, tipo un'equazione di terzo grado come mi sembra, usate derive o qualsiasi altro strumento di calcolo.
Una pallina puntiforme di massa
Supponiamo che sulla pallina agisca la gravità, e che inizialmente essa si trovi ad un'altezza
Supponiamo che la pallina abbia una certa velocità iniziale
Domanda 1)
Quali sono le condizioni sulla velocità iniziale affinchè l'altezza della pallina rimanga costante, fissati gli altri dati del problema? (ovvero la pallina, rimanendo sempre alla stessa altezza, fa un moto circolare). Calcolare il periodo di questo moto circolare.
Domanda 2)
Scrivere l'energia della pallina a un istante generico in funzione dell'altezza a cui si trova, della velocità scomposta in componenti e della massa. Si conserva?
Scrivere il momento angolare della pallina rispetto al vertice del cono all'istante iniziale (bisogna usare le espressioni vettoriali delle cose). Si conserva? Perchè?
[La risposta a questa domanda deve essere data in termini di
[Si ricorda che il momento angolare è
Domanda 3)
Consideriamo solo la componente del momento angolare lungo l'asse del cono (il momento angolare è una quantità vettoriale). Si conserva? Perchè?
Calcolarla a un istante generico del moto in funzione di
[Hint:il momento delle forze, inteso come quantità vettoriale, è nullo nella direzione dell'asse del cono.]
Domanda 4)
Sfruttando la risposta alla domanda 3, ricavare
Sfruttare adesso quest'espressione per spiegare perchè esiste un'altezza minima al di sotto della quale la pallina non può andare. Analogamente per un'altezza massima.
Calcolare queste due altezze, in funzione dei dati iniziali.
Spero che ci sia tutto, che sia comprensibile e di non essere stato pedante. Se nella domanda 4 vi viene un'equazione brutta, tipo un'equazione di terzo grado come mi sembra, usate derive o qualsiasi altro strumento di calcolo.
Re: juggling phisics
1) Le forze che agiscono sulla pallina sono il peso, la forza centrifuga e la reazione normale del cono. Per l'equilibrio sulla direzione che congiunge il vertice del cono con la pallina, si ha:
 =\frac {mv_0^2}{h_0\tan \left( \frac {\alpha}{2}\right) }\sin \left( \frac {\alpha}{2}\right) \Rightarrow v=\sqrt {gh_0})
Il periodo è quindi
 }{\sqrt {gh_0}}=2\pi\tan \left( \frac {\alpha}{2}\right) \sqrt {\frac {h_0}{g}})
Può essere?
Il periodo è quindi
Può essere?
Re: juggling phisics
Provo a rispondere al problema.
1) Concordo con String
2) L'energia meccanica è data dalla somma di energia potenziale e gravitazionale:
L'energia si conserva visto che la normale è sempre perpendicolare a qualsiasi spostamento, che la forza centrifuga è una forza apparente e che il lavoro della forza di gravità è incluso nell'energia potenziale. Pertanto si può scrivere:
Il momento angolare è dovuto solo a, in quanto giace sul vettore che congiunge il vertice del cono alla pallina. Inoltre è perpendicolare a tale vettore e quindi il momento angolare vale
3) Il momento angolare può essere scomposto in una componente parallela all'asse del cono e in una componente radiale, perpendicolare all'asse. Affinchè il momento angolare lungo l'asse del cono, il momento meccanico lungo tale direzione deve essere nullo. un momento meccanico in questa direzione viene originato da una forza tangenziale alla circonferenza descritta dalla pallina (cioè la direzione di). poichè, trascurando gli attriti, non ci sono forze in questa direzione, allora il momento angolare parallelo all'asse del cono si conserva.
4)Si ottiene:
mh^2\tan^2\alpha/2+\frac{L_z^2}{2}=0)
Questa formula rappresenta l'espressione di h in funzione di. D'altra parte 
e quindi dal grafico (tracciato con Derive 
) di questa funzione si vede che in quell'intervallo di , assume sempre un valore superiore e uno inferiore. Quando la pallina raggiunge l'altezza massima o minima, la sua velocità parallela è nulla (
) e quindi si può ricavare h:
1) Concordo con String
2) L'energia meccanica è data dalla somma di energia potenziale e gravitazionale:
L'energia si conserva visto che la normale è sempre perpendicolare a qualsiasi spostamento, che la forza centrifuga è una forza apparente e che il lavoro della forza di gravità è incluso nell'energia potenziale. Pertanto si può scrivere:
Il momento angolare è dovuto solo a
3) Il momento angolare può essere scomposto in una componente parallela all'asse del cono e in una componente radiale, perpendicolare all'asse. Affinchè il momento angolare lungo l'asse del cono, il momento meccanico lungo tale direzione deve essere nullo. un momento meccanico in questa direzione viene originato da una forza tangenziale alla circonferenza descritta dalla pallina (cioè la direzione di
4)Si ottiene:
Questa formula rappresenta l'espressione di h in funzione di
) di questa funzione si vede che in quell'intervallo di Re: juggling phisics
Le soluzioni di quest'equazione, calcolate con Derive, mi escono dei "mostri" anche solo a indicare ogni coefficiente con una lettera 
Mi sono messo a calcolare i valori di h per alcuni valori che ho dato io ai parametri:
, 
, 
, 
e 
.
Le altezze mi risultano:
Esiste una terza soluzione dell'equazione che corrisponde a
e per cui la velocità parallela è nulla. Comunque mi sembra che i risultati ottenuti non siano poi così strani. Spero solo di non aver sbagliato qualcosa
Mi sono messo a calcolare i valori di h per alcuni valori che ho dato io ai parametri:
Le altezze mi risultano:
Esiste una terza soluzione dell'equazione che corrisponde a
-
memedesimo
- Messaggi: 43
- Iscritto il: 7 gen 2009, 23:57
Re: juggling phisics
Mi sembra la soluzione corretta, anche se non ho verificato in dettaglio le equazioni.
Credo che i risultati (soprattutto il fatto che ci sia un'altezza massima o minima) rendano chiaro, almeno qualitativamente, il comportamento della pallina visto nel filmato. Praticamente la pallina scendendo acquista velocità, la quale le permette di tornare su senza mai scendere al di sotto di una certa altezza.
Per studiare il moto della pallina in modo completo, bisogna usare questa equazione e soprattutto qualche programma a cui dare in pasto l'equazione differenziale che si ottiene in pochi passaggi in questo modo:
Scriviamo come )
. Questa relazione è vera, e 
rappresenta la velocità con cui cresce l'altezza della pallina se la pallina ha velocità . Sostituendo nell'altra equazione si ottiene ]^2-E_0\right)mh^2\tan^2\alpha/2+\frac{L_z^2}{2}=0)
e poi risolvendo rispetto a (come se fosse l'incognita in un'equazione) possiamo ridurre il problema di determinare cosa fa in funzione di 
a quello di fare un integrale mostruoso (forse infattibile) moltiplicando per 
e dividendo per tutta la roba che sta dall'altra parte rispetto a e poi integrando (è un'equazione a variabili separabili).
Cedo ai volenterosi l'onere e l'onore di vedere se si riesce a fare. Metto anche il link a un sito che fa integrali: http://integrals.wolfram.com/index.jsp. Praticamente dovreste ricavare l'integrale e provare a scriverlo nel sito, dopodichè dovremmo avere finalmente la descrizione completa del moto della palla.
Se questo metodo non dovesse funzionare a causa dell'integrale infattibile, suggerisco di provare a mettere l'equazione differenziale in qualche programma che calcola una soluzione graficamente e vedere che succede
Mi rendo conto che per seguire questi ragionamenti dovreste avere un po' di dimestichezza con l'analisi, purtroppo...
Credo che i risultati (soprattutto il fatto che ci sia un'altezza massima o minima) rendano chiaro, almeno qualitativamente, il comportamento della pallina visto nel filmato. Praticamente la pallina scendendo acquista velocità, la quale le permette di tornare su senza mai scendere al di sotto di una certa altezza.
Per studiare il moto della pallina in modo completo, bisogna usare questa equazione
Scriviamo
Cedo ai volenterosi l'onere e l'onore di vedere se si riesce a fare. Metto anche il link a un sito che fa integrali: http://integrals.wolfram.com/index.jsp. Praticamente dovreste ricavare l'integrale e provare a scriverlo nel sito, dopodichè dovremmo avere finalmente la descrizione completa del moto della palla.
Se questo metodo non dovesse funzionare a causa dell'integrale infattibile, suggerisco di provare a mettere l'equazione differenziale in qualche programma che calcola una soluzione graficamente e vedere che succede
Mi rendo conto che per seguire questi ragionamenti dovreste avere un po' di dimestichezza con l'analisi, purtroppo...
Re: juggling phisics
Dopo alcuni passaggi sono arrivato a questa equazione differenziale:
^{-1/2}dh=dt)
Ho provato a dare in pasto l'integrale al programma che ha consigliato memedesimo, ma la soluzione che ne esce è davvero mostruosa e tira in ballo integrali ellittici del primo e secondo tipo,
che purtroppo non so neanche cosa siano, e se ho ben capito la guida anche le radici di almeno una decina di polinomi.
Credo proprio che una soluzione esatta non sia proprio possibbile ottenerla, ma forse con qualche approssimazione se ne può tirare fuori qualcosa di decente.
Ho provato a dare in pasto l'integrale al programma che ha consigliato memedesimo, ma la soluzione che ne esce è davvero mostruosa e tira in ballo integrali ellittici del primo e secondo tipo,
che purtroppo non so neanche cosa siano, e se ho ben capito la guida anche le radici di almeno una decina di polinomi.Credo proprio che una soluzione esatta non sia proprio possibbile ottenerla, ma forse con qualche approssimazione se ne può tirare fuori qualcosa di decente.