Moto di un razzo in un campo gravitazionale

[Flaffo]

Stavo pensando al moto di un razzo in presenza di un campo gravitazionale. Per semplicità partiamo dalla luna (così possiamo trascurare gli attriti), allora qual'è il modo più efficiente di lanciare un razzo? Se raggioniamo in termini di un motore ausiliario, ci accorgiamo che è più efficiente accenderlo in prossimità della superficie piuttosto che in quota perché i gas di scarico, in questo caso, cadrebbero sulla superficie lunare con maggiore velocità e avrebbero un energia cinetica maggiore dei gas espulsi se il motore fosse acceso immediatamente (poiché accelerato dalla differenza di potenziale gravitazionale). L'energia sarebbe quindi 'sottratta' al razzo che avrebbe una velocità finale minore. Con lo stesso ragionamento, maggiore è il 'thrust' maggiore dovrebbe dovrebbe essere l'efficienza. Come descriviamo questo quantivamente? Sicuramente dovremmo tener conto del 'rate of change of mass':
per
Tuttavia combinando questo con l'impulso fornito dal razzo vengono equazioni che non so risolvere . Finora ho visto solo testi che consideravano la forza gravitazionale costante ma sicuramente questo non ci permetterà di dire che l'efficienza aumenta con il thrust.
Potete aiutarmi?

[Simone256]

Purtroppo non ho ben capito la domanda
Prova a scrivere un problema come se ti fosse dato in un test:
Definisci le variabili, definisci come bisogna assumere il campo gravitazionale, definisci come funziona il motore (getta quantitá di gas costante nel tempo a velocitá relativa rispetto alla navetta costante?).
Metti tutte le assunzioni e le ipotesi che vuoi! Sembra la base di un problema simpatico! Forse però nessuno ha ancora risposto per via della consegna un po incasinata

[Flaffo]

Lo scopo del problema è trovare il modo più efficiente di lanciare un razzo da un pianeta. Per semplificare il problema supponiamo che:
-L'attrito con l'atmosfera sia trascurabile.
-Il pianeta non ruoti intorno al proprio asse. In tal caso basterebbe comunque una piccola modifica, ma per ora semplifichiamo.
-il campo gravitazionale si possa assumere costante e uguale a durante tutto il moto del razzo. Notare che, tuttavia, la forza gravitazionale sul razzo non è costante perché la sua massa diminuisce con il passare del tempo.
- Il motore emetta una quantità di gas costante nel tempo e uguale a ad una velocità di espulsione costante rispetto al razzo definita da . Inoltre immaginiamo che possa essere cambiata a piacimento (aumentando o diminuendo il trust del motore).
Dire come deve essere scelto affinché il lancio avvenga nel modo più efficiente possibile, in modo tale da massimizzare la distanza dal pianeta a cui il razzo potrà giungere. La massa del razzo, senza carburante, è ; e la massa del carburante è

Se è giusto il ragionamento postato in precedenza, dovrebbe tendere ad infinito. Ciò che vogliamo fare è dimostrarlo con i calcoli.

[Simone256]

Quindi tu hai una massa m di carburante e M di nave spaziale e vuoi trovare una funzione M(t) tale che mandi il più in alto possibile il razzo? E supponi che la funzione sia quella che in un tempo infinitesimo manda M+m in M...

[Flaffo]

Si, il risultato che ci aspetteremo di trovare, se il ragionamento di sopra è giusto, è che per ottenere la massima efficienza bisogna bruciare tutto il carburante sulla rampa di lancio per passare in un tempo infinitesimo da M+m ad M. In caso contrario ci staremo portando "un peso addosso" che aumenta, infine, il lavoro totale della forza gravitazionale.