Palla in una vasca
Re: Palla in una vasca
Ok quindi per simmetria l'area che non è sommersa è anche quella su cui agisce la pressione per cui devo trovare il giusto equilibrio tra forza peso, pressione idrostatica su quel pezzo e forza di Archimede (come dicevi tu la pressione idrostatica non avrebbe effetti se il corpo fosse totalmente immerso mentre qui un effetto lo ha)... dico frottole o è giusto?
Re: Palla in una vasca
Ho guardato sul libro e ho cercato di capire la soluzione con il poco che avevo fatto io e alla fine sono riuscito a capire gli errori... Grazie di tutto!
Re: Palla in una vasca
Molto bello il libro!
Re: Palla in una vasca
La forza di Archimede è indipendente dal livello dell'acqua sopra la palla solo per la parte comresa fra il fondo-vasca e 2 volte radice di R quadrato -rquadrato. In questa zona la spinta deriva dalla differenza di pressione fra semisfera inferiore sopra il foro e la sua simmetrica superiore: questa differenza sarebbe identica in ogni zona della vasca e quindi non dipende da h. Poi c'è la pressione e la forza esercitate dall'acqua sulla cupola che va da 2 volte radice di R quadrato - r quadrato al "polo Nord", che non viene bilanciata in alcun modo dalla parte simmetrica che è dentro il foro. Essa corrisponde ad una forza verso il basso sulla palla pari al peso della colonna di acqua che sta sopra (volume cilindro meno cupola) e ovviamente dipende dal livello h. Se r=R semisfera ci sarebbero solo questa e il peso palla e nessuna spinta verso l'alto. Chiedo se è giusto questo ragionamento perchè non ho voluto vedere libro e soluzione e non ho capito se quello che dice Woodman è quanto pensavo io. Grazie.
Re: Palla in una vasca
Se ho inteso bene cosa vuoi dire e dovrebbe funzionare, prova a postare i conti
Re: Palla in una vasca
Intanto ti do il mio risultato poi eventualmente ne riparliamo perchè devo dedicare il mio poco tempo al teorema di Bertrand
essendo le densità della palla e dell'acqua, mentre per la bonus dovrebbe essere
essendo le densità della palla e dell'acqua, mentre per la bonus dovrebbe essere
Re: Palla in una vasca
Bonus è giusto , mentre viene leggermente diverso
Re: Palla in una vasca
a me viene così:
è corretto?
è corretto?
Se Dio esiste, è un grande matematico.(Paul Dirac)
Re: Palla in una vasca
Giusto!
Se ti va metti anche il procedimento
Se ti va metti anche il procedimento
- CaptainJohnCabot
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Re: Palla in una vasca
Direi che è ora di postare il procedimento di questo problema, dato che nessuno si fa vivo e l'argomento è attivo da una vita
Siano e il volume e la densità della sfera, il volume della calotta sferica inferiore non immersa e la densità dell'acqua.
Si ha che sull'oggetto agiscono due forze: e , in particolare la palla si solleverà dal fondo all'altezza quando .
Dato che è nota, si procede con il determinare
Se immaginassimo di 'tagliare' la calotta non immersa e di porre l'oggetto ottenuto in recipiente 'normale' riempito d'acqua la forza ottenuta sarebbe:
Si nota però che sul fondo del nostro recipiente non c'è acqua, dato quindi che è data dalla differenza di pressione si toglie da il contributo che l'acqua avrebbe dato con la sua presenza sul fondo, supponendo che l'altezza dell'acqua non scenda mai al di sotto dell'estremità superiore della sfera, utilizzando e si ottiene:
Quindi per si pone ottenendo:
Bisogna ora sostituire e determinare . A tal proposito si può considerare come la somma di infiniti cilindri di area e altezza , quindi utilizzando il calcolo integrale:
,
Dalla quale si ottiene (nel mio caso con Wolfram alpha ):
Sostituendo si ottiene il risultato di wotzu:
Per quanto riguarda il bonus sono arrivato al risultato di con considerazioni 'logiche' (ossia 'campate per aria' ). Infatti quando si viene a formare una calotta di volume anche superiormente non si ha più quel contributo non bilanciato e quindi la forza è massima. Avevo pensato di fare la derivata di per trovare il suo massimo ma la formula che ho usato vale solo quando la sfera è totalmente sommersa e non sono riuscito a trovare altre 'idee' per giustificare dal punto di vista matematico il ragionamento.
Il post è venuto lunghissimo
Mi scuso in anticipo per notazioni imprecise ed errori di trascrizione/concettuali sono ancora abbastanza inesperto
Siano e il volume e la densità della sfera, il volume della calotta sferica inferiore non immersa e la densità dell'acqua.
Si ha che sull'oggetto agiscono due forze: e , in particolare la palla si solleverà dal fondo all'altezza quando .
Dato che è nota, si procede con il determinare
Se immaginassimo di 'tagliare' la calotta non immersa e di porre l'oggetto ottenuto in recipiente 'normale' riempito d'acqua la forza ottenuta sarebbe:
Si nota però che sul fondo del nostro recipiente non c'è acqua, dato quindi che è data dalla differenza di pressione si toglie da il contributo che l'acqua avrebbe dato con la sua presenza sul fondo, supponendo che l'altezza dell'acqua non scenda mai al di sotto dell'estremità superiore della sfera, utilizzando e si ottiene:
Quindi per si pone ottenendo:
Bisogna ora sostituire e determinare . A tal proposito si può considerare come la somma di infiniti cilindri di area e altezza , quindi utilizzando il calcolo integrale:
,
Dalla quale si ottiene (nel mio caso con Wolfram alpha ):
Sostituendo si ottiene il risultato di wotzu:
Per quanto riguarda il bonus sono arrivato al risultato di con considerazioni 'logiche' (ossia 'campate per aria' ). Infatti quando si viene a formare una calotta di volume anche superiormente non si ha più quel contributo non bilanciato e quindi la forza è massima. Avevo pensato di fare la derivata di per trovare il suo massimo ma la formula che ho usato vale solo quando la sfera è totalmente sommersa e non sono riuscito a trovare altre 'idee' per giustificare dal punto di vista matematico il ragionamento.
Il post è venuto lunghissimo
Mi scuso in anticipo per notazioni imprecise ed errori di trascrizione/concettuali sono ancora abbastanza inesperto
"Transire suum pectus mundoque potiri"