Densita gassosa
Re: Densita gassosa
Il ragionamento è molto sottile infatti nella distribuziome basta un semplice pasaaggio per ottenere un risultato che poi va mormalizzato
Re: Densita gassosa
Soluzione numero 1: studio degli equilibri
Poniamoci nel sistema rotante con velocità angolare
e consideriamo lo strado di gas sotteso da un piccolo angolo 
, compreso tra i raggi 
e 
e di altezza 
. Sulla superficie interna agisce la pressione )
e quindi una forza Ld\theta \vec r)
, mentre sulla superficie esterna agisce la forza Ld\theta (r+dr) \frac{\vec r}{r}=-(p(r)+p'(r)dr)Ld\theta (r+dr) \frac{\vec r}{r})
, inoltre la forza centrifuga è data da  dV \vec r)
dove 
è l'elemento di volume )d\theta \frac{dr}{2})
e quindi L(2r+dr)d\theta \frac{dr}{2} \vec r)
.
Ora all'equilibrio si deve avere
e sostituendo le espressioni delle tre forze rLd\theta+\omega^2 r\rho(r)L(2r+dr)d\theta \frac{dr}{2}=(p(r)+p'(r)dr)Ld\theta (r+dr))
, semplificando e trascurando i termini 
rispetto a quelli 
si ottiene l'equzione =p(r)+r p'(r))
.
Ora serve una relazione tra pressione e densità, usando quindi l'equazione di stato dei gas perfetti e chiamando con
la massa molare si ottiene =\rho (r) \frac{RT}{\mu}=a\rho(r))
dove 
, sostituendo si ottiene l'equazione differenziale per la densità:
=\rho(r)(\omega^2 r^2-a))
Che è una bella equazione a variabili separabili che ha la bella soluzione:
= C \frac{\displaystyle e^{\frac{m \omega^2 r^2}{2K_bT}}}{r})
(dove m è la massa di una particella)
che sembra non avere nulla di male se non fosse per il fatto che se tentiamo di trovare la costante di integrazione ci tocca di integrare
di cui non si ha una forma esplicita.
Vediamo ora se torna usando l'altro metodo.
Soluzione numero 2: distribuzione di Boltzmann
La distribuzione di Boltzmann afferma che in un sistema termodinamico a temperatura costante il numero di particelle che si trovano nella zona a potenziale
è proporzionale a 
.
Ora notiamo che nel nostro sistema le zone con lo stesso potenziale sono i gusci cilindrici di altezze raggi spessori e se li la densità vale )
nel guscio avremo )
particelle date da =\frac{\rho(r) 2\pi r L }{m}dr)
mentre il potenziale della particella nel guscio è il potenziale centrifugo 
.
Dunque utilizzando la distibuzione di Boltzmann sappiamo che}=costante)
e da qui si ricava:
che è la stessa di prima, e visto che torna con i due metodi il sospetto che è corretta inizia a salire...
Poniamoci nel sistema rotante con velocità angolare
Ora all'equilibrio si deve avere
Ora serve una relazione tra pressione e densità, usando quindi l'equazione di stato dei gas perfetti e chiamando con
Che è una bella equazione a variabili separabili che ha la bella soluzione:
(dove m è la massa di una particella)
che sembra non avere nulla di male se non fosse per il fatto che se tentiamo di trovare la costante di integrazione ci tocca di integrare
Vediamo ora se torna usando l'altro metodo.
Soluzione numero 2: distribuzione di Boltzmann
La distribuzione di Boltzmann afferma che in un sistema termodinamico a temperatura costante il numero di particelle che si trovano nella zona a potenziale
Ora notiamo che nel nostro sistema le zone con lo stesso potenziale sono i gusci cilindrici di altezze
Dunque utilizzando la distibuzione di Boltzmann sappiamo che
che è la stessa di prima, e visto che torna con i due metodi il sospetto che è corretta inizia a salire...
Re: Densita gassosa
Leggi la soluzione è tutto spiegato 
Re: Densita gassosa
L' R a denominatore non torna, normalizza la funzione nel caso senza r a denominatore e il risultato verrà da se
Re: Densita gassosa
ma spiega cosa c'è di sbagliato in entrambe le soluzioni, altrimenti se non c'è nulla di sbagliato c'è la r al denominatore
Re: Densita gassosa
La distribuzione Boltzmann ti serve a identificare non il numero di molecone in funzione del raggio ma il numero di molecole su unita di volume quindi ottieni subito n(r) ovvero la densita di particelle = A(fattore di normalizzazione) per l'esponenziale che era corretto...se hai presente anche nel feynman mi pare che dimostri la densita ecc
Ultima modifica di Mdz il 17 ago 2015, 13:12, modificato 1 volta in totale.
Re: Densita gassosa
Andrea l'energia la consideri come cinetica più cosa?
There once was a classical theory,
Of which quantum disciples were leery.
They said, "Why spend so long
On a theory that's wrong?"
Well, it works for your everyday query!
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Re: Densita gassosa
Mdz ha scritto:La distribuzione Boltzmann ti serve a identificare non il numero di molecone in funzione del raggio ma il numero di molecole su unita di volume quindi ottieni subito n(r) ovvero la densita di particelle = A(fattore di normalizzazione) per l'esponenziale che era corretto...
no la distribuzione di Boltzmann stabilisce una proporzionalità tra la probabilità di una particella di trovarsi in una zona e l'esponenziale, la probabilità a sua volta è proporzionale al numero di particelle che si trovano in quella zona, dunque devi identificare le zone equipotenziali e guardare quante particelle ci sono.
Poi sulla prima soluzione?
Re: Densita gassosa
No l'energia è quella potenziale dovuta alla forza centrifuga, mi sono messo in un sistema di riferimento rotante quindi le particelle hanno energia cinetica nulla (il pedice c si riferisce a centrifuga).Simone256 ha scritto:Andrea l'energia la consideri come cinetica più cosa?
Re: Densita gassosa
Grazie mille, chiarissimo! 
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