SNS 2014 problema 5
Re: SNS 2014 problema 5
Ma l'assunzione della linearità della funzione (che, per carità, è perfetta come approssimazione) non può mai portarti alla legge di Snell. Diciamo che con quell'ipotesi perdi qualcosa di insignificante... Ma per trovare Snell non devi perdere niente!
"Io non vi insegno la matematica, vi insegno a vivere"
Re: SNS 2014 problema 5
Sia 
l'altezza dell'atmosfera.
L'indice di rifrazione cresce secondo la legge=\dfrac{n_T-n}{H}x+n)
(lo zero e' posto al limite dell'atmosfera).
Divido l'atmosfera in tanti strati di spessore
. Per la legge di Snell:
sin(\alpha)=n(x+dx)sin(\alpha+d\alpha))
si ha che=n(x)+\dfrac{n_T-n}{H}dx)
e =sin(\alpha)cos(d\alpha)+sin(d\alpha)cos(\alpha)\simeq sin(\alpha)+d\alpha cos(\alpha))
posto \simeq 1)
e \simeq d\alpha)
sostituendo questi accorgimenti nella legge di Snell (dopo qualche passaggio algebrico) si arriva a
cos(\alpha)d\alpha+\dfrac{n_T-n}{H}dx*sin(\alpha)+\dfrac{n_T-n}{H}dxd\alpha*cos(\alpha)=0)
L'ultimo termine si puo' trascurare e si arriva a
}{sin(\alpha)}d\alpha=-\dfrac{\dfrac{n_T-n}{H}}{\dfrac{n_T-n}{H}x+n}dx)
Integro a sinistra da
a 
e a destra da 
a che da
che infine da
=n sin(\theta))
A parte l'altra soluzione piu' facile ed elegante (averci pensato prima
) come dimostrazione potrebbe andare o ci sono degli errori grossolani?
L'indice di rifrazione cresce secondo la legge
Divido l'atmosfera in tanti strati di spessore
si ha che
sostituendo questi accorgimenti nella legge di Snell (dopo qualche passaggio algebrico) si arriva a
L'ultimo termine si puo' trascurare e si arriva a
Integro a sinistra da
A parte l'altra soluzione piu' facile ed elegante (averci pensato prima
) come dimostrazione potrebbe andare o ci sono degli errori grossolani?Rosso 5
Re: SNS 2014 problema 5
Ok, ho un dubbio. Perché
\sin(\alpha)=n(x+dx)\sin(\alpha + d\alpha))
? Cioè, perché si può assumere che se l'altezza aumenti di anche l'angolo aumenta di 
?
"Io non vi insegno la matematica, vi insegno a vivere"
Re: SNS 2014 problema 5
Mi verrebbe da dire che se l'altezza aumenta di poco, l'indice di rifrazione cambia di poco e di conseguenza anche l'angolo cambia di poco, e aumenta di una quantità infinitesimale. Spero di essere stato chiaro
Tuttavia mi sembra ci sia un errore che non avevo notato: io ho preso come riferimento a zero il limite dell'atmosfera e come il suolo (l'asse positivo è rivolto verso il basso). Solo che se 
lo aumento di (andando verso il basso) l'angolo diminuisce di (perché l'indice di rifrazione aumenta)... Solo che così vengono i segni scambiati 
...
Tuttavia mi sembra ci sia un errore che non avevo notato: io ho preso come riferimento a zero il limite dell'atmosfera e come
...Rosso 5
Re: SNS 2014 problema 5
ok, ho detto una cretinata prima. Quindi non importa com'è fatta )
se non agli estremi? Secondo voi si può dimostrare che esce così solo assumendo che 
è continua?
"Io non vi insegno la matematica, vi insegno a vivere"
Re: SNS 2014 problema 5
Penso che se anche sia discontinua valga comunque.
prendi
strati uno sopra l'altro di indici di rifrazione 
.
allora si ha che;
=n_2sin(\theta_2))
=n_3sin(\theta_3))
=n_ksin(\theta_k))
ovvero=n_ksin(\theta_k))
, che e' come se ci fossero solo il primo e l'ultimo 
prendi
allora si ha che;
ovvero
Rosso 5
Re: SNS 2014 problema 5
Sì, l'ho risolto così anche io... però intendevo integrando o facendo qualcos'altro
"Io non vi insegno la matematica, vi insegno a vivere"
Re: SNS 2014 problema 5
Scusa non avevo capito 
Allora penso di non essere la persona più adatta a rispondere alla tua domanda
Allora penso di non essere la persona più adatta a rispondere alla tua domanda
Rosso 5
Re: SNS 2014 problema 5
Penso che il fatto che la funzione è continua l'abbiano scritto solo per confondere e indurre a fare il lunghissimo procedimento che ho fatto io perdendo parecchio tempo. In realtà interessano solo i valori agli estremi tutto il resto può essere qualsiasi, lì l'indice di rifrazione potrebbe anche assumere valori complessi ma il risultato non cambierebbe.