Monetine in fila

[andreaandrea]

Tre piccole monete identiche di massa ognuna sono collegate tramite due fili sottili e non conduttori, ciascuno lungo . Ogni moneta ha una carica ignota. Le tre monete sono appoggiate su un piano orizzontale privo di attrito e non conduttore. L'angolo tra i due fili tesi è molto vicino a . Dopo che il sistema è lasciato libero, oscilla con un periodo . Trovare la carica .

[Gabry]

Le monetine più esterne sono ad una distanza che, per piccoli, possiamo approssimare a .
La forza tra le due monetine più esterne vale e il momento torcente che per theta piccoli possiamo approssimare a ricordando che (dove alpha è l'accelerazione angolare) abbiamo . Questa è un equazione differenziale del secondo ordine che non so risolvere ma (anche sfruttando l'analogia col caso del pendolo) mi ricordo che in questi casi di moto armonico il periodo vale da cui

[andreaandrea]

Quando ho provato a risolvere questo problema ero convinto della soluzione, ma avevo sbagliato completamente.
Vista la soluzione vi do un piccolo consiglio per mettervi sulla buona strada:

La moneta centrale resta ferma nel moto ?

(è colorato di bianco, così lo legge solo chi vuole...)

[Gabry]

Visto il tuo consiglio, le tre cariche hanno lo stesso segno oppure possono avere anche segni opposti?

[andreaandrea]

Tutte lo stesso segno

[Gabry]

Ho provato, considerando che la monetina centrale deve muoversi in modo che il centro di massa rimanga fermo, a cercare una relazione derivando l'energia ma non ne vengo a capo in particolare per quanto riguarda le approssimazioni (l'energia potenziale elettrica verrebbe circa costante per circa uguale a 1) e anche non approssimando nulla mi è venuta fuori una relazione piena di calcoli che non credo porti da qualche parte.

[t4ilgr4b]

Ma il fatto che il centro di massa rimanga fermo non implica che le tre monetine si muovano similmente a un'onda stazionaria (giusto per far capire) e che quindi ci siano due nodi in d/2 da una parte e dall'altra? e quindi che il raggio è d/2?

[desga]

io l'ho fatto in un modo diverso e mi viene

[andreaandrea]

Il risultato di desga è corretto. Potresti spiegarci il ragionamento che hai fatto ?

[desga]

Pongo un sistema di riferimento in cui la posizione iniziale della monetina centrale coincide con l'origine, e l'asse x passa per i centri delle monete. Siccome durante il moto non agiscono forze esterne, il centro di massa deve rimanere nell'origine: pertanto quando la moneta di mezzo ( che ora chiamerò 2 per comodità) è distante dall'origine, la congiungente tra le monete 1 e 3 sarà distante . Ora compio una approssimazione drastica: anche se in realtà le monete percorrono archi di circonferenza, siccome l'ampiezza angolare del moto è assai ridotta considero il loro spostamento solo come una traslazione parallela all'asse y.Pertanto sulla moneta 1 la componente x della tensione del filo deve compensare le componenti x delle forze repulsive esercitate dalle monete 2 e 3. Siccome l'angolo è molto piccolo, il valore della componente x di ciascuna di esse è circa uguale al loro modulo. La componente x della forza repulsiva tra le monete 1 e 3 vale circa , quella tra la 1 e la 2 è invece . Quindi il modulo della tensione è .
Ora considero la moneta 2: su di essa agiscono le due tensioni e le forze elettrostatiche repulsive.Per ovvie ragioni di simmetria le componenti x di tali forze si elidono, quelle y invece no. Chiamo l'angolo tra il filo e l'asse x, e geometricamente si ricava che . Quindi sull'asse y si ha che: , e sostituendo si ottiene
. Questa è, come nel moto armonico semplice, una forza di richiamo direttamente proporzionale allo spostamento , con costante di proporzionalità .
Quindi il periodo è dato da , e svolgendo i calcoli si ottiene . Invertendo la formula si trova quindi .