Area dove è possibile incontrare amici per dialogare su qualsiasi argomento intorno alla Fisica, e non solo di Fisica
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Stardust
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da Stardust » 3 mag 2010, 20:13
So benissimo che il forum delle OliFis è espressamente dedicato alla Fisica, ma ho un nodo da sciogliere relativo ad un esercizio di matematica (dato oggi nell'ambito di una competizione Fisico-Matematica, il "Certamen F. D'Arpa" di Maglie -LE-).
Qualcuno potrebbe darmi una mano?
"Del polinomio a coefficienti reali
=x^{100}+a_{99}x^{99}+a_{98}x^{98}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0)
si sa che ammette come radici tutti i cento numeri naturali da 1 a 100.
Dire (motivando opportunamente la risposta) quali sono le ultime 18 cifre decimali del numero
+123456789123456789111)
."
Lo posto nell'area Caffè per non disturbare troppo e perchè non sono iscritto al forum della concorrenza...
In nature we do not find past, present and future as we recognise them, but an evolutionary process of change - energy never trapped for too long - life always becoming.
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Pigkappa
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da Pigkappa » 3 mag 2010, 20:54
Scrivi il polinomio scomponendolo in fattori di 1° grado e hai finito... A occhio direi che vengono le ultime 18 cifre di quel numero enorme che stai aggiungendo a P(107).
Comunque iscriversi al "forum della concorrenza" è cosa buona e giusta
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
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Stardust
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da Stardust » 4 mag 2010, 14:39
Allora
=(x-100)(x-99)(x-98)\ldots (x-2)(x-1)x)
.
Quindi per x=107
=(107-100)(107-99)(107-98)\ldots (107-2)(107-1)107=7\,8\,9\ldots 105\,106\,107)
ovvero
.
Non ho molta esperienza con esercizi del genere, quindi anche così non mi sembra di intravedere una agevole soluzione.
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Pigkappa
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da Pigkappa » 4 mag 2010, 15:06
A te interessano solo le ultime 18 cifre di quel numero. Nella sua scomposizione quanti 2 e quanti 5 ci sono?
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ale.b
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da ale.b » 4 mag 2010, 17:16
Stardust ha scritto:
.
sbaglio o nella fattorizzazione di p(x) non dovrebbe esserci l'ultima "x"? così come l'hai scritto il polinomio sarebbe diventato di grado 101
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Gauss91
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da Gauss91 » 4 mag 2010, 20:14
@ Stardust: i fattoriali grossi in genere hanno mooooolti zeri
.
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Stardust
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da Stardust » 4 mag 2010, 21:57
Accolgo la correzione di ale.b, ma per vedere quanti 2 e 5 ci sono in questo numero, come faccio a scomporlo?
Non devo mica vedere uno per uno tutti i fattori che danno
=\displaystyle{\frac{106!}{6!}})
?
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.mg
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da .mg » 4 mag 2010, 22:17
Fra 7 e 106 ci sono 20 numeri divisibili per 5 (se non ho fatto male i conti ed escludendo il fatto che ci sono 3 multipli di 25) e una cinquantina di numeri pari, ti bastano per vedere che il risultato ha almeno 18 zeri
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Pigkappa
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da Pigkappa » 5 mag 2010, 2:50
Volendo brutalizzare la questione, penso che nelle schede olimpiche ci sia anche una (semplice) formuletta che ti dà il massimo
naturale tale che, se
è un primo e
è un intero positivo,
divide
. Comunque non serve ricordarsela, basta fare come ha detto .mg
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Stardust
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da Stardust » 5 mag 2010, 14:09
Sì, ho pensato la stessa cosa stamattina, riuscendo a trovare che in
)
ci sono
come minimo i seguenti fattori:
e
, che sono più che abbondanti per avere che il numero
ha tra i suoi fattori
.
Questo conferma che almeno le ultime 18 cifre decimali di p(107) sono tutte 0.
Quindi le ultime 18 cifre di N sono 456 789 123 456 789 111.
Grazie per gli utili consigli.
Pigkappa ha citato le schede olimpiche... Sono comprensibili anche per chi non ha mai raggiunto le Nazionali di Matematica?
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