sistema elettrostatico

[Morley]

Ho una curiosità teorica sul secondo quesito della Gara di secondo livello dell'11 febbraio 2009. Il sistema descritto in quel problema(di elettrostatica) è formato da una sfera conduttrice solida,che possiede una certa carica (nel problema il valore di essa si ricava dal suo potenziale), circondata da due pezzi conduttori che uniti formano un guscio sferico concentrico alla sfera A. Su ciascun pezzo del guscio è presente una carica pari a metà di quella della sfera A. Il problema garantisce che "il sistema è in equilibrio elettrostratico". La mia domanda è: un sistema siffatto è necessariamente in equilibrio elettrostatico (quindi il problema si limita ad esplicitare una cosa ovvia)? Il campo elettrico in ogni suo punto interno è necessariamente nullo? Perchè?

[Pigkappa]

un sistema siffatto è necessariamente in equilibrio elettrostatico (quindi il problema si limita ad esplicitare una cosa ovvia)?

No.

Se prendi due conduttori e li metti a contatto, la carica si muove e si distribuisce in modo da portare i due conduttori ad avere lo stesso potenziale ed un campo elettrico nullo al loro interno.

Ovviamente ci vuole un certo tempo perchè la carica riesca a distribuirsi. Anzi, ti invito a considerare questo sistema: una sfera di raggio e carica iniziale è collegata tramite un filo di resistenza e lunghezza ad una seconda sfera di raggio e carica iniziale nulla. Come si distribuisce la carica e quanto tempo ci mette?

[Morley]

Mi pare che tu ti riferisca a due conduttori che entrano in contatto, ma nella situazione di quel quesito il guscio sferico letteralmente "circonda" la sfera conduttrice senza toccarla, anzi la figura mostra che c'è una visibile distanza tra i due. Procedendo dall'esterno verso l'interno si incontra prima il guscio sferico, poi uno spazio vuoto e poi la sfera carica. In effetti non ero stato chiaro su questo punto.

[Pigkappa]

L'ho letto il quesito, e quello che ho scritto sopra è vero.

La frase "il sistema è in equilibrio elettrostratico" lì vuol dire che ogni conduttore è a potenziale uniforme, con campo elettrico nullo al suo interno. Se tu prendi un conduttore con cariche distribuite in modo casuale, queste si distribuiscono (in un certo intervallo tempo!) in modo da portarlo allo stesso potenziale e annullare all'interno.

L'esempio che ho fatto io riguarda due conduttori collegati (che, a questo punto, si possono vedere come un unico conduttore...) perchè in questo caso è più semplice stimare il tempo che ci mettono le cariche a ridistribuirsi.

[Morley]

Vediamo se ho capito. Lo spazio all'interno di un conduttore (il nostro guscio sferico) è sempre caratterizzato (se il conduttore si trova in equilibrio elettrostatico) da un potenziale costante, e dunque da un campo elettrico nullo, non solo -qui vediamo se ho veramente afferrato il concetto- se il conduttore è tutto "pieno" o se è cavo, ma anche se contiene al suo interno dello spazio vuoto e un secondo conduttore, e forse in casi ancora più generali...

[Morley]

Scusa se ho "ignorato" il tuo esempio; mi servirebbero conoscenze che ancora non ho per quello.

[Pigkappa]

Vediamo se ho capito. Lo spazio all'interno di un conduttore (il nostro guscio sferico) è sempre caratterizzato (se il conduttore si trova in equilibrio elettrostatico) da un potenziale costante, e dunque da un campo elettrico nullo, non solo -qui vediamo se ho veramente afferrato il concetto- se il conduttore è tutto "pieno" o se è cavo, ma anche se contiene al suo interno dello spazio vuoto e un secondo conduttore, e forse in casi ancora più generali...

Non proprio. Che sia uniforme ed nullo vale dentro al conduttore, cioè nella parte metallica (i conduttori spesso sono fatti di metallo). Se c'è una zona cava con dentro delle cariche, queste non si dispongono per forza in modo da rendere uniforme anche lì dentro.

È anche facile capire perchè le cose funzionano così. Con l'espressione "equilibrio elettrostatico" intendiamo la situazione in cui le singole cariche rimangono ferme. Ma un conduttore è per definizione caratterizzato dal fatto che ci sono al suo interno molte cariche (gli elettroni) libere di muoversi come vogliono. Visto che sono libere e comunque non si muovono, la forza che le spinge è nulla, e quindi il campo elettrico è nullo.

Scusa se ho "ignorato" il tuo esempio; mi servirebbero conoscenze che ancora non ho per quello.

Basta saper scrivere l'equazione di un semplice circuito. Se ancora non ci sei arrivato, ripensa a questa cosa quando ci arrivi.

[Morley]

E nel nostro caso il campo è nullo anche nella zona vuota o solo all'interno (nella parte metallica) dei conduttori? E se il campo è nullo anche lì, cosa c'è di "speciale" in questo sistema che rende il campo nullo? La forma sferica?

[Pigkappa]

In realtà, il campo tra le due sfere in questo caso direi che non è nullo, ma è quello generato dalla sola sfera interna.


Però puoi provare a dimostrare questa cosa: se prendi un conduttore e immagini si possa fare un buco al suo interno, così che ci sia una zona cava, allora il campo elettrico in tale zona è nullo e non ci sono cariche sulla superficie del conduttore che guarda quella zona. Se sei arrivato a trattare i conduttori, dovresti aver già visto anche quello che serve a dimostrarlo.

Questa situazione è diversa da quella di cui avevo parlato in precedenza perchè prima avevo ammesso la possibile che vi fossero delle cariche indipendenti dal conduttore all'interno del buco:

Se c'è una zona cava con dentro delle cariche, queste non si dispongono per forza in modo da rendere uniforme anche lì dentro.

[Morley]

Penso di saper dimostrare quello che mi chiedi.

Nella zona cava non è presente carica elettrica; nessuna delle possibili superfici chiuse contenute nella zona cava racchiude carica elettrica; il flusso del vettore campo elettrico attraverso una qualunque di queste superfici chiuse è nullo(teorema di Gauss); allora è nullo anche il vettore campo elettrico (su questo passaggio logico ho qualche perplessità) in tutti i punti di tutte le possibili superfici chiuse considerate, cosa che equivale a dire che il campo elettrico è ovunque nullo all'interno della zona cava.

Perchè il campo tra le due sfere è quello generato dalla sola sfera interna? Non accade qualcosa al campo elettrico nello spazio vuoto in virtù del fatto che la sfera interna provoca induzione elettrostatica nel guscio sferico?