Leggi di conservazione

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marco.ve
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Leggi di conservazione

Messaggio da marco.ve » 12 lug 2016, 15:55

Scusate, potete spiegarmi in che senso "la dinamica può essere formulata in modo complementare rispetto all'equazione del moto attraverso le leggi di conservazione" (Wikipedia)?

Pigkappa
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Re: Leggi di conservazione

Messaggio da Pigkappa » 12 lug 2016, 16:15

E' una frase un po' buffa. Tuttavia e' vero che in una serie di casi si possono usare leggi di conservazione per ricavare l'equazione del moto, e viceversa.

Facciamo un esempio. Uso le derivate perche' purtroppo non si puo' davvero fare senza le derivate, ma prova a seguirmi anche se non sai cosa sono.
Possiamo dire che due particelle A e B si attraggono tramite la forza di gravita'. Per semplicita' immagino A e B sull'asse x e che siano vincolate a stare su questo asse. La forza che agisce su A e':

Ed e' nel verso delle x positive se . Similmente, la forza che agisce su B e' .
Oltre a queste due relazioni, vale la seconda legge di Newton, per le due particelle. Qua e' la derivata seconda di rispetto al tempo, cioe' l'accelerazione della particella.
Usando queste relazioni, si puo' dimostrare (ma non lo faccio) che l'energia del sistema, definita come:

si conserva. Quindi siamo partiti dalla forza e abbiamo dimostrato che l'energia si conserva.

Wikipedia suggerisce che si puo' fare l'inverso. Adesso prendiamo come ipotesi il fatto che la quantita':

sia conservata.
Usiamo anche il fatto che la quantita' di moto del sistema e' conservata. Equivalentemente, usiamo il fatto che il centro di massa del sistema non si muove. Mettiamo l'origine nel centro di massa cosi' che:
.
Se ora sostituisci questa espressione per nella formula dell'energia, e fai la derivata dell'energia rispetto al tempo, e usi che perche' abbiamo detto che si conserva, puoi ricavare una formula per l'accelerazione della particella A. Usando di nuovo per semplificarla troverai:
.
E se usi che , avrai cosi' trovato la stessa espressione per che avevo riportato sopra.

In altri termini, una volta scelta l'espressione della forza, l'espressione dell'energia potenziale e' fissata, e viceversa.
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)

marco.ve
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Re: Leggi di conservazione

Messaggio da marco.ve » 14 lug 2016, 19:39

Capito, grazie mille

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