terzo principio della dinamica in meccanica lagrangiana

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andrea96
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Re: terzo principio della dinamica in meccanica lagrangiana

Messaggio da andrea96 » 25 mar 2015, 22:16

Ma non è questa la conservazione della quantitá di moto! La conservazione della quantitá di moto è molto piu generale che applicata ad una singola particella! Fammi vedere come dimostri solo a partire che la derivata della quantitá di moto di una particella è uguale alla risultante delle forze su di essa, che la quantitá di moto totale di un sistema di particelle si conserva...

Carlo96
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Re: terzo principio della dinamica in meccanica lagrangiana

Messaggio da Carlo96 » 27 mar 2015, 18:14

Tra ieri e oggi ho riflettuto e credo di dovere delle scuse a Newton!! In effetti quando ragionavo davo per scontato che un sistema a cui non sono applicate forze dall esterno non è soggetto a forze, ma questo è vero solo perché le forze interne si annullano per il terzo principio. Chiedo quindi umilmente perdono!! Credo però anche di aver capito come il terzo principio sia contenuto nelle equazioni di Lagrange. Intanto deve essere già contenuto nella lagrangiana perché dal principio di minima azione alle equazioni di moto si fanno solo passaggi puramente matematici. Nella Lagrangiana credo sia contenuto nell'energia potenziale. Se infatti l'energia potenziale è funzione della posizione e la forza è il gradiente dell'energia potenziale, il terzo principio è sicuramente contenuto li!! Non so se sono chiaro, spero di sì

andrea96
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Re: terzo principio della dinamica in meccanica lagrangiana

Messaggio da andrea96 » 27 mar 2015, 20:36

mmm... forse ci stiamo avvicinando a qualcosa... però: in che modo l'assunzione del terzo principio porta al fatto che il potenziale non dipende dalle velocità delle particelle?

P.S. Newton è buono e misericordioso e sicuramente ti perdonerà :D

Carlo96
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Re: terzo principio della dinamica in meccanica lagrangiana

Messaggio da Carlo96 » 27 mar 2015, 21:56

Credo che la dipendenza dalla posizione e non dalla velocità sia dovuta al fatto che una forza in generale sia dovuta ad un campo che permea lo spazio in un certo modo. In ogni caso questa cosa non è sempre vera, pensa alla forza di Lorentz. L'unica cosa che mi viene in mente è come sia curioso il fatto che l'unica forza dipendente dalla velocità di una particella e non dalla posizione è l'unica a non avere una particella che la porta ( non esiste il monopolo magnetico). Tutte le altre forze che mi vengono in mente dipendono dalla posizione. Bisognerebbe vedere, domani dovrei avere un po' di tempo, come la forza di Lorentz sia messa dentro la lagrangiana. Cosa ne pensi??

andrea96
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Re: terzo principio della dinamica in meccanica lagrangiana

Messaggio da andrea96 » 28 mar 2015, 0:02

beh innanzi tutto non puoi scrivere la lagrangiana per la forza di lorentz perchè questa non è descritta da un potenziale, poi a me pare che non è necessario che per far si che una forza possa essere descritta da un potenziale: immagina ad esempio che la forza gravitazionale agente su una massa per effetto di una massa sia , in questo caso è chiaro che le forze non sono uguali e contrarie, eppure puoi descrivere il sistema con un potenziale.
Invece credo che mi sia venuto in mente il vero motivo per cui il terzo principio è contenuto nelle equazioni di Lagrange: quando scrivi il potenziale del sistema, scrivi solamente il potenziale ESTERNO! non includi il potenziale dovuto alle forze interne poichè PER IL TERZO PRINCIPIO i potenziali dovuti alle forze interne si elidono.

Carlo96
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Re: terzo principio della dinamica in meccanica lagrangiana

Messaggio da Carlo96 » 28 mar 2015, 18:14

L'idea è ottima credo sia proprio per quello!! :D

Andreo95
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Re: terzo principio della dinamica in meccanica lagrangiana

Messaggio da Andreo95 » 30 mar 2015, 19:10

Non sono sicuro che tu non possa scrivere una lagrangiana che tenga conto della forza di Lorentz. Ovviamente non puoi più pretendere che essa sia un : le cose verranno mischiate!
Non capisco la parte riguardo l'elidersi dei potenziali.
Non è detto che le equazioni di eulero-lagrange ti portino alla conservazione della quantità di moto del sistema. Dipende se il sistema è infatti soggetto a forze esterne. Immagina di avere una massa m soggetta a un potenziale U=kx. Perché dovrebbe esserci conservazione della quantità di moto in questo sistema?
D'altro canto la somma delle forze non è zero. Ovviamente potrai recuperare il terzo principio includendo nel tuo sistema ciò che genera il potenziale.
Si può inoltre, dalla simmetria della lagrangiana per trasformazioni del tipo ricavare la conservazione della quantità di moto associata ad x.

p.s. Mischiate ma non troppo: in coordinate cartesiane, per una particella in un campo elettromagnetico con potenziale vettore di componenti e scalare a viene una cosa tipo . Non vanno bene invece forze tipo l'attrito.

andrea96
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Re: terzo principio della dinamica in meccanica lagrangiana

Messaggio da andrea96 » 30 mar 2015, 19:57

No ma in fatti nel primo post ho scritto che dalle equazioni di lagrange dimostro la conservazione del momento corrispondente a una coordinata ciclica! è chiaro che se il potenziale dipende dalla x, allora la x non è una coordinata ciclica, ma lo è per esempio la y, e in effetti la componente corrispondente del momento si conserva.
Nella questione che dicevo prima in effetti sono stato molto poco chiaro, ma perchè la cosa non è troppo chiara nemmeno a me; era un idea qualitativa che mi sono fatto per spiegarmi dove suppongo vero il terzo principio scrivendo una lagrangiana, tento di spiegare più accuratamente la coso che ho in testa:
Prendiamo un sistema costituito da due particelle che a un certo punto si urtano. La loro interazione è schematizzata come impulsiva, ma si potrebbe ( in linea di principio ) creare un modello atomico che descriva la loro interazione nell' "urto", così che una particella è soggetta al potenziale dell'altra. Si schematizzando l'interazione come impulsiva, sia descrivendola con un potenziale alla fine si otterrà lo stesso risultato che è quello che la quantità di moto totale si conserva perchè LE FORZE CHE AGISCONO TRA LE PARTICELLE SONO UGUALI E CONTRARIE, ma se così non fosse stato, nella schematizzazione ad interazione impulsiva la lagrangiana non sarebbe stata semplicemente la somma delle due energie cinetiche, quindi boh... mi sembrava che scrivendo la lagrangiana senza tener conto di termini dovuti alle interazioni interne sto assumendo vero il terzo pricipio.

P.S. Caspita ero convinto che potessi scrivere le equazioni di lagrange solo se avessi una forza dipendente solo dalla posizione! :o :o
Non mi ero mai accorto di casi particolari tipo questo in cui la forza pur essendo dipendente dalla velocità è il gradiente di una funzione.
Vedi se ti torna il mio calcolo: , quindi nella lagrangiana posso metterci il potenziale , giusto?

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