terzo principio della dinamica in meccanica lagrangiana

[andrea96]

Ho un grosso grosso dubbio ( credo che la domanda sia rivolta ai più esperti ): in meccanica newtoniana si deduce la conservazione della quantità di moto dal terzo principio, ma in linea di principio si potrebbe fare il contrario, cioè nota la conservazione della quantità di moto si può dedurre il terzo principio. Infatti dati due corpi con quantità di moto rispettivamente e isolati dal resto dell'universo, si ha che e e sommando membro a membro, visto che la quantità di moto totale si conserva si trova che .
Ora la domanda che pongo è questa: in ambito di meccanica lagrangiana posso dedurre la conservazione della quantità di moto dal fatto che se ad esempio è una coordinata ciclica allora si conserva e questo porta alla conservazione della componente x della quantità di moto, e alla stesso modo per le altre. A rigor di logica direi che se ho potuto dedurre la conservazione della quantità di moto ( con la quale posso dedurre il terzo principio della dinamica ) dalle equazioni di lagrange, allora il terzo principio dovrebbe essere contenuto nelle equazioni di lagrange, però non riesco a trovare in quale punto della deduzione delle equazioni si usa il terzo principio...

[quazar18]

Se non mi ricordo male se la lagrangiana è simmetrica rispetto alle traslazioni si ottiene tramite il teorema di Noether la conservazione della quantità di moto

[andrea96]

Si beh certo se una coordinata è ciclica allora la lagrangiana è certamente simmetrica rispetto a quella coordinata, ma se la coordinata é ciclica è abbastanza superfluo applicare il teorema di nother.
Comunque la mia domanda era un altra: visto che posso dimostrare la conservazione della quantitá di moto dalle eq. di lagrange, e dalla cconservazione della quantitá di moto posso dimostrare il terzo principio, per coerenza con la meccanica newtoniana mi viene da pensare che non si può giungere alle eq. di lagrange senza assumere il terzo principio, però non riesco a trovare in quale punto della dimostrazione delle eq. di lagrange si assume il terzo principio...

[andrea96]

accetto anche semplici suggerimenti su dove andare a guardare...

[Carlo96]

Parlando di meccanica newtoniana, i tre principi che la governano sono in realtà assimilabili come uno solo: Newton aveva scritto il suo secondo principio come:



e da questo si ricava il primo ponendo F pari a zero e il terzo come hai detto tu nel primo post di questo argomento. Siccome dunque il terzo é contenuto nel secondo principio, allora se le equazioni di Lagrange contengono il secondo principio, vuol dire che contengono implicitamente anche il terzo. Come tu sai, il principio di minima azione, dal quale si ricavano le equazioni di Lagrange, è equivalente al secondo principio della dinamica (e quindi anche al terzo) e dunque le equazioni di Lagrange contengono il terzo principio della dinamica, verificabile poi analizzando una particella, per la quale si ha che:



In questo caso il primo membro è la forza, il secondo la derivata temporale della quantità di moto, e dunque il secondo principio, e dunque il terzo!!

Spero sia chiaro!

[Carlo96]

P.S.: la dimostrazione del l'equivalente tra secondo principio è minima azione è contenuta nel Feynman, secondo volume in una sezione a parte!!

[andrea96]

Mah a memoria direi che quella del feyfeynman non è una dimostrazione, è più una cosa intuitiva e non mi sembra che dimostri l invarianza rispetto a cambi di coordinate. Comunque la dimostrazione si trova quasi ovunque non è quello il problema...
comunque non sono per niente convinto che il secondo principio contenga gli altri due anche perchè altrimenti nonsarebbero principi: il primo afferma tra le altre cose anche l esistenza di sistemi inerziali che non è contenuta nel primo principio, e ip terzo non mi sembra proprio essere contenutonnntenuto nel secondo (si potrebbe senza problemi costruire una teoria coerente con se stessa negando il secondo principio )
Io invece sono abbastanza convinto che nella dimostrazione dell invarianza delle equazioni di lagrange viene utilizzato il terzo principio (o una sua conseguenza ) in modo sottile.

[Carlo96]

Io penso invece che il terzo sia contenuto nel secondo: se in un sistema di due corpi, supponiamo, le forze esterne sono nulle, la quantità di moto del intero sistema si conserva, e dunque la somma delle quantità di moto dei due corpi, e dunque la variazione di una è pari a meno la variazione del altra, e quindi la forza che agisce su un corpo è uguale e contraria a quella che agisce sull'altro. In questa breve dimostrazione si usa solo il secondo principio e la somma vettoriale di vettori, quindi direi che il terzo principio non è in realtà un principio vero e proprio. In realtà anche il primo per me è contenuto nel secondo, comunque non ci interessa. In ogni caso io ho studiato la meccanica lagrangiana in un corso della Stanford University, tenuto da Susskind, che è una fonte autorevole e non ci sono richiami al terzo principio nella dimostrazione delle equazioni di Lagrange. Questo vorrebbe dire che se le equazioni di Lagrange implicano il terzo principio, questo è già contenuto nel secondo.

[andrea96]

Ma non usi solo il secondo principio! Utilizzi anche la conservazione della quantitá di moto che non puoi dimostrare senza il terzo principio...

[Carlo96]

No, non è vero. Se nella formula del secondo principio:



metto F=0 (sistema isolato), la quantità di moto si conserva perché la sua derivata rispetto al tempo è nulla!!!! Deriva solo dal secondo principio !!!