Cinematica e Archimede.

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deliriumcordia
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Cinematica e Archimede.

Messaggio da deliriumcordia » 4 mag 2009, 21:44

Salve a tutti.

Il mio problema forse è di facile fattura, ma mi ha tenuto impegnato per qualche giorno, mi sono bloccato e non riesco ad andare avanti.

Ho una sfera di un certo materiale dato piena di aria, della massa di 2000 kg, del diametro di 5 m, che viene lasciata cadere nel vuoto.

Ho trovato la velocità limite che dovrebbe essere intorno ai 207.9 km/h.

Una volta raggiunta questa velocità, entra in un pozzo pieno di acqua. A quale profondità arriva prima di fermarsi e tornare in superficie per la spinta di Archimede?

Grazie per l' aiuto

Pigkappa
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Re: Cinematica e Archimede.

Messaggio da Pigkappa » 4 mag 2009, 21:54

Di che velocità limite parli? Se viene lasciata cadere nel vuoto, non c'è una velocità limite.

Comunque, se la fai cadere in acqua alla velocità che hai indicato e vuoi calcolare a che profondità si ferma usando solo la forza di archimede, basta che imponi che il lavoro fatto dalla risultante delle forze agenti sulla sfera (peso + archimede) sia uguale all'energia cinetica iniziale. In realtà, in una situazione di questo tipo direi che non si può trascurare la viscosità dell'acqua, e probabilmente neanche l'energia persa nell'urto con la superficie di acqua.
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deliriumcordia
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Re: Cinematica e Archimede.

Messaggio da deliriumcordia » 4 mag 2009, 21:58

Pigkappa ha scritto:Di che velocità limite parli? Se viene lasciata cadere nel vuoto, non c'è una velocità limite.

Comunque, se la fai cadere in acqua alla velocità che hai indicato e vuoi calcolare a che profondità si ferma usando solo la forza di archimede, basta che imponi che il lavoro fatto dalla risultante delle forze agenti sulla sfera (peso + archimede) sia uguale all'energia cinetica iniziale. In realtà, in una situazione di questo tipo direi che non si può trascurare la viscosità dell'acqua, e probabilmente neanche l'energia persa nell'urto con la superficie di acqua.
Parlo di una sfera che viene fatta cadere in aria, non nel vuoto.

La velocità limite è circa 207.9 km/h.

Per quanto riguarda i conti, mi servirebbe un' approssimazione che semplifichi abbastanza i conti ma i cui risultati non siano completamente da buttare. Come mi consigli di risolvere?

Alex90
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Re: Cinematica e Archimede.

Messaggio da Alex90 » 4 mag 2009, 22:13

Tralasciando l'energia che si dissipa nell'urto e la viscosità credo che puoi affrontare il problema matematicamente come:





Considerando i vari volumi come calotte sferiche...non mi sembra però troppo semplice...

deliriumcordia
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Re: Cinematica e Archimede.

Messaggio da deliriumcordia » 4 mag 2009, 22:17

Alex90 ha scritto:Tralasciando l'energia che si dissipa nell'urto e la viscosità credo che puoi affrontare il problema matematicamente come:





Considerando i vari volumi come calotte sferiche...non mi sembra però troppo semplice...
Infatti, come si suol dire, sto scapocciando :D

deliriumcordia
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Re: Cinematica e Archimede.

Messaggio da deliriumcordia » 4 mag 2009, 22:26

Sono 3 giorni che ci sto sopra, pig ti invoco! :D

Alex90
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Re: Cinematica e Archimede.

Messaggio da Alex90 » 4 mag 2009, 22:39

In attesa dell'intervento risolutore di Pigkappa butto giù qualche idea...magari è d'aiuto...

Abbiamo detto



Il volume V della calotta sferica è



è lo spostamento avvenuto nell'intervallo al variare della velocità, cioè



credo che dovremmo ragionare il tutto per infinitesimi...

Pigkappa
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Re: Cinematica e Archimede.

Messaggio da Pigkappa » 4 mag 2009, 22:41

Non ho capito cosa è nella notazione di Alex90.

Comunque avevi scritto:
che viene lasciata cadere nel vuoto


Perciò ho fatto quell'obiezione.


Il calcolo senza considerare la viscosità e l'energia persa nell'urto è facile. Prendiamo come positiva la direzione verso l'alto. La forza peso è . La forza di Archimede è

dove R è il raggio della sfera, la densità dell'acqua. Basta imporre che il lavoro fatto sia uguale alla variazione di energia cinetica:



Da cui ottieni il risultato.

Il problema è che nella realtà la viscosità dell'acqua secondo me è importante, e non so come trattare questi fenomeni. Andando a vedere sul Rosati, si trova che in questi casi, considerando il moto dell'acqua laminare (per carità), sulla sfera agisce anche una forza che si oppone al moto di modulo pari a (legge di Stokes):



Dove è la viscosità dell'acqua. Considerando anche questa forza, si ottiene un'equazione differenziale che dovreste essere in grado di risolvere (il solito attrito proporzionale alla velocità).
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Re: Cinematica e Archimede.

Messaggio da Alex90 » 4 mag 2009, 22:47

E' la forza di Archimede o Spinta...mi sono abituato così al biennio e non l'ho perso il vizio di chiamarla ...forse non si capiva perchè mi accorgo ora di aver tralasciato un segno - nell'espressione sopra...

edit:
obiezione a Pig: ma è costante? non varia al variare del volume e quindi di h?
Ultima modifica di Alex90 il 4 mag 2009, 22:48, modificato 1 volta in totale.

Pigkappa
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Re: Cinematica e Archimede.

Messaggio da Pigkappa » 4 mag 2009, 22:48

Alex90 ha scritto:In attesa dell'intervento risolutore di Pigkappa butto giù qualche idea...magari è d'aiuto...

Abbiamo detto



Il volume V della calotta sferica è



è lo spostamento avvenuto nell'intervallo al variare della velocità, cioè



credo che dovremmo ragionare il tutto per infinitesimi...
Non ho capito molto bene cosa vorresti fare.
Se stai cercando di integrare la pressione agente su tutti i punti della sfera per vedere quale forza verticale ne esce fuori, se riuscirai a portare in fondo i conti (non credo sia troppo difficile, alla fine non ha una forma così brutta...), troverai semplicemente la forza di Archimede!
Se invece vuoi considerare l'intervallo di tempo in cui solo una parte della sfera è caduta in acqua e calcolare se l'oggetto si ferma prima di essere del tutto immerso, preparati a un conto un po' brutto (ma probabilmente si riesce a fare, però non chiedetemi di farlo in questi giorni...). Comunque secondo me l'energia persa mentre si sta immergendo è trascurabile sul totale. Per dimostrarlo, puoi provare a maggiorare la forza agente sulla sfera supponendo che sia sempre uguale a quella che agisce quando la sfera è del tutto immersa, e calcolare l'energia che la sfera perderebbe mentre si immerge supponendo che la forza sia sempre uguale in questo breve intervallo di tempo.
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