SNS 2008/2009 Problema 1

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SNS 2008/2009 Problema 1

Messaggio da CoNVeRGe. » 23 apr 2009, 21:26

Una particella di massa e velocità iniziale urta un'altra particella ferma di massa . Determinate il massimo angolo di deflessione possibile per la prima particella. Si supponga l'urto perfettamente elastico.


Come si puo intuire, l'angolo di deflessione è l'angolo tra la traiettoria iniziale e quella dopo l'urto.

Alex90
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Re: SNS 2008/2009 Problema 1

Messaggio da Alex90 » 25 apr 2009, 14:50

Facciamo riferimento ad un sistema di assi cartesiani in cui la particella di massa viaggia con velocità parallela all'asse

Dato che l'urto è perfettamente elastico sono conservate sia la quantità di moto del sistema che l'energia cinetica totale, quindi si ha:





Dove , , e indicano le componenti della velocità rispettivamente di e dopo l'urto.

Da cui sostituendo e indicando con si ottiene:









Da cui









...
Ultima modifica di Alex90 il 29 apr 2009, 20:56, modificato 2 volte in totale.

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Re: SNS 2008/2009 Problema 1

Messaggio da CoNVeRGe. » 26 apr 2009, 18:08

Occhio che puoi semplificare non poco con: ;)
Credo manchi soltanto una relazione tra e in modo da poter semplificare tutte le velocità...

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Re: SNS 2008/2009 Problema 1

Messaggio da CoNVeRGe. » 26 apr 2009, 20:23

Mi correggo: ovviamente sarebbe impossibile semplificare tutte le velocità perchè dopo avremmo determinato..

Pensa infatti a quello che devi trovare, non sei lontano dalla soluzione

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Falco5x
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Re: SNS 2008/2009 Problema 1

Messaggio da Falco5x » 29 apr 2009, 17:08

E questo?
mica vorremo abbandonarlo no?

Direi


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Re: SNS 2008/2009 Problema 1

Messaggio da CoNVeRGe. » 29 apr 2009, 18:02

Si, anch'io.

@Alex90: Il problema ti chiede di trovare l'angolo massimo. Sei giunto ad un'equazione da cui ricavi e poi trovi il massimo della funzione.

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Re: SNS 2008/2009 Problema 1

Messaggio da Alex90 » 29 apr 2009, 20:49

eh lo so ma a scriverla un po' ci vuole quindi adesso se ho tempo cerco di texarla per bene :D

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Falco5x
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Re: SNS 2008/2009 Problema 1

Messaggio da Falco5x » 30 apr 2009, 15:53

Riguardo a questo problema ho trovato una simpatica caratteristica, che illustro in figura sottostante.
M e V sono riferite alla massa maggiore; m e v sono riferite alla massa minore urtata dalla precedente.
Detto P il punto in cui avviene l'urto della massa M lanciata a velocità V0 in senso orizzontale (da sinistra a destra nel disegno), il luogo dei possibili estremi del vettore quantità di moto del corpo più pesante dopo l'urto è una circonferenza di raggio
Naturalmente qui si vede anche quale può essere l'angolo massimo di deflessione richiesto dal problema, e per calcolarlo basta fermarsi alla geometria senza ricorrere all'analisi matematica.
Equazioni del moto:







Sviluppando i calcoli e risolvendo per le componenti della quantità di moto della massa minore:



Ricordando l'equazione di un cerchio passante per l'origine e con il centro situato lungo l'asse x:



e confrontando con la precedente equazione si ricava



Immagine

pascal
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Re: SNS 2008/2009 Problema 1

Messaggio da pascal » 1 mag 2009, 10:22

Falco5x scrive...
Elegante soluzione che fa trasparire la risposta in modo geometrico e intuitivo.

Trascrivo un altro modo per giungere alla stessa conclusione.
Teorema di Carnot:



Conservazione energia cinetica:



Nelle precedenti e p sono le quantità di moto di M prima e dopo l’urto, q è quella di m in seguito all’urto, è l’angolo tra i segmenti e q. Sostituendo la differenza dei quadrati della seconda nella prima, si ha che il diametro della circonferenza è la quantità costante:



In tale circonferenza q è una corda, il diametro si trova su , è inscritto il triangolo rettangolo che ha l’ipotenusa come diametro.

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