SNS 2008/2009 Problema 5

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CoNVeRGe.
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SNS 2008/2009 Problema 5

Messaggio da CoNVeRGe. » 23 apr 2009, 21:22

Un blocco di massa e velocità iniziale urta una particella ferma di massa . Questa, messa in moto, urta contro un muro, torna indietro, urta di nuovo col blocco, cambia di nuovo direzione, poi urta di nuovo contro il muro e così via. Supponendo che tutti gli urti che avvengono siano perfettamente elastici e avvengano sempre sulla stessa retta, dimostrare che il numero di urti che intercorrono tra la particella e il blocco prima dell'arresto di quest'ultimo sono .

Pigkappa
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Re: SNS 2008/2009 Problema 5

Messaggio da Pigkappa » 24 apr 2009, 14:20

Nota: questo era il problema più difficile tra i 6 proposti. Ci sono vari modi di risolverlo, nessuno dei quali è banale. Provateci senza arrendervi se non vi riesce subito.
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Re: SNS 2008/2009 Problema 5

Messaggio da Falco5x » 27 apr 2009, 20:13

Mah, la soluzione proposta è talmente approssimata da apparire cervellotica.
Certo ho capito come c'è arrivato chi l'ha proposta, però basta scendere un po' di più coi piedi per terra, fare qualche iterazione e se ne trova una un po' più precisa, che ha anche il pregio di essere più semplice senza scomodare inutilmente il pi-greco, ovvero:

.

Sempre che io non abbia preso un grosso granchio, naturalmente... :D

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Re: SNS 2008/2009 Problema 5

Messaggio da CoNVeRGe. » 27 apr 2009, 21:10

Il pi-greco mi fa pensare ad un moto periodico, in cui il processo descritto rappresenterebbe un quarto del periodo, ovvero il passaggio da velocità massima del blocco a velocità nulla (e forza impulsiva della particella massima).
Ma non è molto ragionevole e spiegabile...

Su questo problema non son riuscito a perderci troppo tempo perchè mi vien da pensare che ci servono robe tipo sommatorie o relazioni tra situazione n-esima e n+1-esima, che non so proprio sviluppare...

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Re: SNS 2008/2009 Problema 5

Messaggio da Pigkappa » 27 apr 2009, 21:26

CoNVeRGe. ha scritto:Su questo problema non son riuscito a perderci troppo tempo perchè mi vien da pensare che ci servono robe tipo sommatorie o relazioni tra situazione n-esima e n+1-esima, che non so proprio sviluppare...
Non è difficile trovare come variano le due velocità in un urto. Basta che imponi conservazione di quantità di moto ed energia. Usando quelle due leggi, prova a scrivere il sistema con e in funzione di e . Poi eventualmente vedo se riesco a darti un suggerimento su come andare avanti.
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Re: SNS 2008/2009 Problema 5

Messaggio da CoNVeRGe. » 27 apr 2009, 22:25

Dopo un'immersione nei calcoli mi escono:





Chi l'avrebbe mai detto che uscivano così 'semplici' da tutta quella roba? :?
In questo l'aver già visto problemi aiuta in maniera fondamentale al test, non c'è che dire.

Forse adesso si dovrebbe trovare in funzione di e porlo poi uguale a 0. (sapendo della relazione tra e )
E questo non saprei comunque farlo..

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Falco5x
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Re: SNS 2008/2009 Problema 5

Messaggio da Falco5x » 28 apr 2009, 8:29

@ Converge
Giusto per puntualizzare una cosa che forse per te è scontata, le tue formule sono giuste solo se si sottintende che la e la hanno versi opposti. Insomma le tue velocità vanno prese in modulo. Le formule corrette (velocità con segno) avrebbero i segni invertiti sulle

Adesso per arrivare alla soluzione le devi però semplificare assumendo (non troppo però, altrimenti la massa grande non rallenta mai!)

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Re: SNS 2008/2009 Problema 5

Messaggio da pascal » 28 apr 2009, 19:22

La conservazione dell’energia negli urti impone che:
,
dove V e v sono le velocità di M ed m dopo un urto. Ponendo , si ottiene:

che rappresenta sul piano cartesiano una circonferenza.

Se chiamiamo con e , e le suddette grandezze dopo le collisioni di ordine n-1 ed n, si ha per la conservazione dell’energia e della quantità di moto in un generico urto:

,

.

Inoltre risulta che ,
perché i due angoli hanno vertici al centro e sulla circonferenza e nel contempo insistono sullo stesso arco CD.

Da
scaturisce che

,





.

Allora il punto rappresentativo del moto per ogni urto si sposta sulla circonferenza dello stesso arco CD che in radianti vale . Quando gli urti aumentano,
il punto sulla circonferenza passa da L a N (associati alle velocità iniziale e finale nulla di M). Pertanto per conoscere il numero n di urti basta contare quanti angoli sono contenuti in :

.

Non c’è molto tempo per risolvere questi problemi così difficili della SSN, soprattutto alla fine dell’anno scolastico quando gli impegni si moltiplicano in modo esponenziale.
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Re: SNS 2008/2009 Problema 5

Messaggio da Falco5x » 28 apr 2009, 22:09

pascal ha scritto: ...
Bravo, sono ammirato per la soluzione e la rappresentazione geometrica ineccepibile. Provo sempre ammirazione per chi riesce a visualizzare in questo modo soluzioni che se lasciate nella sfera astratta dell'algebra rimarrebbero poco intuitive.

pascal
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Re: SNS 2008/2009 Problema 5

Messaggio da pascal » 29 apr 2009, 7:58

Grazie

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