Questo mi fa pensare che sia definita solo per e non si possa calcolarla fuori di questo intervallo. Poi dici che:
Adesso, in questa formula, se il secondo integrale è strano perché l'integrando superiore è minore di quello inferiore (di nuovo, questo non è di per sé sbagliato, ma secondo me non è quello che vuoi). Se , il problema è ancora più serio: nel primo integrale adesso stai calcolando per valori di per cui non è definita. Probabilmente volevi intendere che se il primo integrale si ferma a , e se il secondo integrale non c'è, ma sottointendere cose di questo tipo rischia di causare confusione.
Vedo un modo di salvare questa notazione, potremmo definire se , se , e allora adesso è vero che (nota che ho reintrodotto ):
Comunque mi pare tu abbia fatto confusione ad usare il principio di simmetria, che è oppure anche e se lo vuoi in termini delle derivate, . Le tue equazioni danno che fatico ad applicare dato che ed sono definite su intervalli diversi. Ma anche solo sostituendo in questa equazione, viene che è sbagliato.
Ti garantisco che il coefficiente 3/2 non c'è :p Ti faccio questa parte del problema e ti lascio provare che è più difficile, ma se metti a posto la tua notazione e quella cosa sulla simmetria ti dovrebbe venire.
Dove ho manipolato la formula per mettere in evidenza la definizione di forza media per . Per questo risultato non ho usato la simmetria di da nessuna parte e infatti non serve saperla. Ma per l'ipotesi della simmetria è necessaria.