Diffusione

[Pigkappa]

In questo problema consideriamo un gas sia dal punto di vista macroscopico che microscopico.

Definiamo la lunghezza , chiamata libero cammino medio, con la seguente proprieta': quando una particella attraversa un intervallo di spazio , la sua probabilita' di interagire con un'altra particella e quindi essere assorbita o deviata dal suo cammino e' .

1. Mostra che se una particella attraversa un intervallo di spazio ha una probabilita' di interagire con altre particelle.

Si indichi con la posizione nello spazio. Sia la densita' di energia del gas. Sia inoltre la velocita' media delle particelle che compongono il gas. Indico con il gradiente di . (Se non sai cosa sia il gradiente, leggi in fondo)

Vogliamo studiare la diffusione di energia nel gas. L'energia si diffondera' dalle zone di alta energia a quelle di bassa energia. Il flusso di energia sara' tipicamente nella forma dove e' detto coefficiente di diffusione.

2. Si trovi un argomento fisico per giustificare questa relazione approssimata (che e' bene ricordarsi per sempre): .
3. Mostra che .
4. Che condizioni ragionevoli hai dovuto suppore fossero vere per i punti 2 e 3?

Se non sai cosa sia il gradiente, ecco una spiegazione: il gradiente e' il vettore composto dalla derivata di rispetto ad ogni direzione dello spazio, ovvero dove il simbolo si usa per le derivate quando ci sono piu' direzioni spaziali possibili. Se fai attenzione, puoi ridurti facilmente al caso unidimensionale per questo problema.

[Fede:)]

Ho provato a risolverlo anche se, tolto il punto 1, penso di aver fatto un macello
1. La probabilità che una particella interagisca esattamente in un tratto con una seconda particella è , cioè la probabilità che non abbia ancora interagito nel suo percorso con nessuna particella moltiplicata per la probabilità che ci interagisca proprio nel tratto .
Integrando da a si trova .
2.Se si trascura l'attrazione reciproca tra le particelle del gas gli scambi di energia sono dovuti solo agli urti tra queste ultime.
deve avere le dimensioni di una lunghezza al quadrato su un tempo, e siccome il membro di sinistra è un flusso di energia per unità di tempo esso deve essere legato alla variazione di energia dalla frequenza degli urti e dalla superficie considerata, che dipendono dalla velocità delle particelle e dal libero cammino medio di queste.
Si trova quindi .
3.Come detto prima l'energia viene scambiata attraverso gli urti tra le particelle, e si può supporre che tendenzialmente la velocità di ogni particella sia equipartita nelle 3 componenti, quindi anche gli scambi di energia sono equipartiti nelle 3 direzioni, da cui .
Considero un cubo di lato in cui 3 facce adiacenti sono a contatto con una zona a maggiore energia e le 3 opposte con una a minore energia e considero una di queste, e la suppongo perpendicolare all'asse x.
Per definizione di flusso su quella faccia vale , dove è l'intervallo tra due urti su quella faccia, che posso considerare essere in media , e il segno meno è dovuto al fatto che il flusso è positivo dove la densità di energia diminuisce.
Per quanto detto prima si ha , da cui , da cui .
4. Ho supposto che l'attrazione tra le particelle del gas sia trascurabile e che la velocità delle particelle sia in media equipartita nelle 3 dimensioni, che penso sia ragionevole, sicuramente invece la stima su è molto generosa e poco fondata.

[Pigkappa]

Il punto 1 ok, il punto 2 piu' o meno ok, ma sul 3 non sono d'accordo...

si può supporre che tendenzialmente la velocità di ogni particella sia equipartita nelle 3 componenti, quindi anche gli scambi di energia sono equipartiti nelle 3 direzioni

Qua non sono d'accordo. Non c'e' necessariamente legame tra velocita' ed energia. Quando ho cominciato a pensare a questo problema mi interessava il risultato per un gas di fotoni in cui dipende solo dalla temperatura mentre la velocita' di tutte le particelle e' sempre , e le "altre particelle" con cui interagiscono i fotoni sono, con ogni probabilita', non altri fotoni ma altre particelle che si trovano nello stesso spazio. Per certi aspetti e' anche piu' facile pensare a questo problema per un gas di fotoni che un gas normale, perche' tutte le particelle si muovono alla stessa velocita' cosi' neanche ci si deve preoccupare di che vuol dire "velocita' media", e non c'e' rischio di confondersi tra e . Comunque il risultato vale anche quando e sono legate.

Non sono d'accordo neanche qua, innanzitutto non e' un vettore quindi assumo che per intendi ma non e' che sia cosi' chiara come notazione.
va da zone di alta energia a zone di bassa energia, se orienti l'asse lungo avrai che .
E poi, in ogni caso, quel fattore non capisco da dove verrebbe fuori. Se e' un vettore, quindi se avessi , avresti che , non .

si può supporre che tendenzialmente la velocità di ogni particella sia equipartita nelle 3 componenti

quindi anche gli scambi di energia sono equipartiti nelle 3 direzioni

Forse e' qui la confusione; la prima frase e' vera, almeno localmente, ovvero possiamo approssimare che le particelle che partono da uno stesso punto partano in tutte le direzioni, portando tutte in media la stessa energia e avendo la stessa velocita'. Ma lo scambio di energie dovuto a queste non e' equipartito; quelle che si muovono nella direzione di , e poi vengono assorbite nella posizione , depositano li' meno energia di quella che e' stata persa dalle particelle partite da quel punto. Quelle che si muovono in direzione opposta e arrivano in , depositano li' meno energia delle particelle che se ne sono appena andate da quel punto.

[Luca Milanese]

Rispondo per il punto 3.
Considero, come sopra, prima la sola direzione . Sia l'angolo formato dall'asse e dal vettore velocità di una particella che sta attraversando il piano . Data la locale isotropia delle velocità, la frazione di particelle che hanno direzione compresa tra e , tra quelle che impattano una certa zona del piano (dove immaginiamo avvenire l'urto con un'altra particella), è (proporzionale all'area della corona circolare compresa fra i due angoli). Se è l'area della zona considerata, queste particelle, avendo percorso una distanza perpendicolare al piano, hanno spazzato un volume , perciò trasportano un'energia:

Viceversa, particelle con la stessa inclinazione, ma provenienti da oltre il piano, trasportano un'energia:

Perciò l'energia netta scambiata è:

Integrando sugli angoli, si ottiene:

Il tempo che scorre tra due urti è . La componente del flusso di energia è , dunque risulta:

Da cui, per estensione:

E quindi
Aggiungo il link a un esercizio strettamente collegato a questo topic per chi volesse provarlo:
viewtopic.php?f=12&t=6823

[Pigkappa]

avendo percorso una distanza perpendicolare al piano

E' vero che in media le particelle percorrono una distanza prima di interagire, ma non e' immediatamente ovvio che possiamo fare finta tutte vengano esattamente da una distanza . Possiamo mostrare che anche tenendo conto dei vari punti di partenza, il risultato non cambia?

[Luca Milanese]

Anzitutto mostro dalla sua definizione che è effettivamente la distanza media percorsa da una particella prima di urtarne un'altra. Infatti, dal punto 1, la probabilità di interagire con una particella tra e è:

Perciò la distanza media percorsa prima di un urto è:

Tornando al problema, noto che, nel mio post precedente, ogni volta che ho usato avrei dovuto in realtà usare la generica distanza tra due urti. Alla fine avrei ottenuto l'espressione:

Da mediare sui possibili valori di : poichè quest'ultima espressione è lineare in , allora la sua media si ottiene sostituendo semplicemente a il suo valore medio, cioè . Se invece, per esempio, avessi trovato un coefficiente proporzionale a , allora avrei dovuto impiegare , che in generale è diverso da , perciò il mio utilizzo di già dall'inizio del post precedente è a posteriori giustificato dalla proporzionalità diretta tra e .

[Pigkappa]

Ok la soluzione e' giusta.

Mancherebbe il 4, ci sono molte ipotesi implicite fatte per ottenere questi risultati. Ad esempio, gli urti tra le particelle devono permettere di scambiare energia, ad esempio se fosser puramente urti elastici contro una griglia di particelle fisse non funzionerebbero. Inoltre, il libero cammino medio deve essere molto minore della scala di lunghezza delle variazioni di : . Direi anche che la velocita' non puo' essere troppo piccola; il tempo tipico tra urti e' , quindi .

La mia soluzione del 3 e' equivalente a quella di Luca ma giusto per scriverla, si puo' fare direttamente l'integrale nello spazio. Si prenda una superficie infinitesimale con per comodita' orientato lungo . L'energia totale che arriva in un tempo e':

Dove e' l'energia nel volume , e' il numero di volte che le particelle riescono ad arrivare da distanza , e' la probabilita' di arrivare da , e e' la frazione di angolo solido che la nostra superficie sottende rispetto all'angolo solido visto da .
L'elemento di volume e' . Si espande , si sostituisce e si trova che si devono fare gli stessi integrali di Luca.