Il campo elettrico generato dal doppio strato è chiaramente diretto lungo l'asse delle
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?z)
in ogni punto dello spazio, e dipende solo da
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?z)
:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\vec E(z) = E(z) \hat z)
Per punti esterni al doppio strato, ciascuno dei due strati può essere visto come un piano infinito uniformemente carico con densità superficiale di carica
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\sigma=\rho a)
, perciò i campi elettrici generati dai due strati si annullano, da cui in particolare
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?E(a)=E(-a)=0)
. Per la Legge di Gauss, vale:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\frac{\partial E(z)}{\partial z}=\frac{\rho(z)}{\varepsilon_0})
Da cui si ricava l'espressione del campo elettrico nel doppio strato:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?E(z)=\begin{cases}
\frac{\rho (z-a)}{\varepsilon_0} \quad \text{per} \; 0 \le z \le a \\
-\frac{\rho (z+a)}{\varepsilon_0} \quad \text{per} -a \le z \le 0 \\
\end{cases})
E di conseguenza l'espressione del potenziale elettrico (prendendone lo zero in
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?z=0)
):
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?V(z)=\begin{cases}
\frac{\rho}{\varepsilon_0} \bigg (az-\frac{z^2}{2}\bigg ) \quad \text{per} \; 0 \le z \le a \\
\frac{\rho}{\varepsilon_0} \bigg (\frac{z^2}{2}+az \bigg) \quad \text{per} -a \le z \le 0 \\
\end{cases})
1. Lungo gli assi
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?x)
e
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?y)
non agiscono forze, pertanto la particella mantiene le componenti iniziali della velocità lungo queste direzioni. La differenza di potenziale tra i due lati del doppio strato è:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\Delta V = V(a)-V(-a)=\frac{\rho a^2}{\varepsilon_0})
, e dalle espressioni trovate si vede che
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?V(z))
è monotonicamente crescente, perciò la particella attraversa entrambi gli strati se e solo se:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\frac{m v_{z0}^2}{2} > q \Delta V \Leftrightarrow v_0 > 2a \sqrt{\frac{q\rho}{\varepsilon_0 m}})
2. Dalla conservazione dell'energia si trova la velocità finale lungo
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?z)
:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?v_{zf}=\sqrt{\frac{v_0^2}{2}-\frac{2q\rho a^2}{\varepsilon_0 m}})
Perciò:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\vec v_f = \bigg (\frac{v_0}{\sqrt{2}}, 0,\sqrt{\frac{v_0^2}{2}-\frac{2q\rho a^2}{\varepsilon_0 m}} \bigg ))
3. Sì, è possibile. Se
![](http://latex.codecogs.com/png.latex? v_0 < 2a \sqrt{\frac{q\rho}{\varepsilon_0 m}} )
, allora la particella inverte il proprio moto lungo
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?z)
prima di giungere a
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?z=a)
, e viene espulsa dal doppio strato. Se invece
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?v_0= 2a \sqrt{\frac{q\rho}{\varepsilon_0 m}} )
, allora la particella raggiunge
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?z=a)
dopo un tempo infinito, e in particolare resta intrappolata tra
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?z=0)
e
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?z=a)
. Infatti, essendo
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?z=a)
un punto di equilibrio per la particella, per la reversibilità della meccanica, a parità di energia il tempo impiegato dalla particella per andare da
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?z=0)
a
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?z=a)
è lo stesso che impiegherebbe a compiere il percorso inverso. Tuttavia, avendo per questo valore di
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?v_0)
la particella velocità lungo
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?z)
nulla in
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?z=a)
, nel percorso inverso rimarrebbe lì ferma.
Altrimenti, dalla conservazione dell'energia, si può ottenere l'equazione del moto della particella per
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?0<z<a)
:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\dot z =\frac{\rho q (a-z)}{\varepsilon_0 m})
Che, integrata, mostra ugualmente che il tempo totale diverge.