297- SNS Doppio strato

Area riservata alla discussione dei problemi teorici di fisica
Rispondi
roncu
Messaggi: 70
Iscritto il: 16 nov 2021, 12:05

297- SNS Doppio strato

Messaggio da roncu » 3 ago 2022, 11:26

Lo strato è occupato dalla densità di carica mentre lo strato è occupato dalla densità costante. Una particella di massa m e carica q>0 con velocità iniziale si avvicina al piano z=0 proveniendo da una distanza dal piano grande rispetto ad a.
1. Si determini se la particella può attraversare o meno entrambi gli strati carichi.
2. Si determini la velocità finale una volta che si sia allontanata da z=0 a distanza grande rispetto ad a
3. E' possibile che la particella non si allontani più ad una distanza maggiore di a da z=0?

Luca Milanese
Messaggi: 448
Iscritto il: 13 giu 2019, 10:05
Località: Terracina

Re: 297- SNS Doppio strato

Messaggio da Luca Milanese » 4 ago 2022, 14:46

Il campo elettrico generato dal doppio strato è chiaramente diretto lungo l'asse delle in ogni punto dello spazio, e dipende solo da :

Per punti esterni al doppio strato, ciascuno dei due strati può essere visto come un piano infinito uniformemente carico con densità superficiale di carica , perciò i campi elettrici generati dai due strati si annullano, da cui in particolare . Per la Legge di Gauss, vale:

Da cui si ricava l'espressione del campo elettrico nel doppio strato:

E di conseguenza l'espressione del potenziale elettrico (prendendone lo zero in ):

1. Lungo gli assi e non agiscono forze, pertanto la particella mantiene le componenti iniziali della velocità lungo queste direzioni. La differenza di potenziale tra i due lati del doppio strato è:
, e dalle espressioni trovate si vede che è monotonicamente crescente, perciò la particella attraversa entrambi gli strati se e solo se:

2. Dalla conservazione dell'energia si trova la velocità finale lungo :

Perciò:

3. Sì, è possibile. Se , allora la particella inverte il proprio moto lungo prima di giungere a , e viene espulsa dal doppio strato. Se invece , allora la particella raggiunge dopo un tempo infinito, e in particolare resta intrappolata tra e . Infatti, essendo un punto di equilibrio per la particella, per la reversibilità della meccanica, a parità di energia il tempo impiegato dalla particella per andare da a è lo stesso che impiegherebbe a compiere il percorso inverso. Tuttavia, avendo per questo valore di la particella velocità lungo nulla in , nel percorso inverso rimarrebbe lì ferma.
Altrimenti, dalla conservazione dell'energia, si può ottenere l'equazione del moto della particella per :

Che, integrata, mostra ugualmente che il tempo totale diverge.
Valid Facts and Theoretical Understanding Generate Solutions to Hard Problems

roncu
Messaggi: 70
Iscritto il: 16 nov 2021, 12:05

Re: 297- SNS Doppio strato

Messaggio da roncu » 5 ago 2022, 16:55

Si mi sembra corretto e quindi puoi postare il 298 :D Prima tuttavia riterrei opportuno che tu rispondessi più puntualmente alle nella forma come usa il testo. Quindi nell'unico caso esplicitato quando la particella supera il doppio strato, puoi moltiplicare e dividere il sottraendo per in modo da evidenziare . Anche nel caso z=a specificherei il tipo di equilibrio cui accenni esplicitando la . Infine nel caso della riflessione della particella espliciterei la dell'espulsione e se esiste l'analogia con qualche moto noto.

Luca Milanese
Messaggi: 448
Iscritto il: 13 giu 2019, 10:05
Località: Terracina

Re: 297- SNS Doppio strato

Messaggio da Luca Milanese » 5 ago 2022, 18:00

Ricapitolando, allora, le tre possibili velocità finali sono:
;
;

L'analogia è quella con il moto di una pallina che viene sparata contro l'estremità libera di una molla inizialmente non allungata e il cui altro estremo è fissato.
Valid Facts and Theoretical Understanding Generate Solutions to Hard Problems

Rispondi