289 - Nube di gas

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roncu
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Re: 289 - Nube di gas

Messaggio da roncu » 27 gen 2022, 18:54

1. Considerando corone sferiche infinitesime e derivando ambo i membri rispetto ad r con applicazione del teorema fondamentale del calcolo integrale mi risulterebbe ora :?:
Sono molto soddisfatto che hai approvato il procedimento per 3 e 4. Vedrò di superare gli ostacoli che incontro nel calcolo considerando diverse le masse "viste" dall'afelio e dal perielio... :D

DeoGratias
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Re: 289 - Nube di gas

Messaggio da DeoGratias » 27 gen 2022, 19:01

roncu ha scritto: 27 gen 2022, 18:54 1. Considerando corone sferiche infinitesime e derivando ambo i membri rispetto ad r con applicazione del teorema fondamentale del calcolo integrale mi risulterebbe ora :?:
Adesso è corretto :D

roncu
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Re: 289 - Nube di gas

Messaggio da roncu » 31 gen 2022, 18:32

Dando allora per corretti i primi due punti e il ragionamento sul resto, comincio dal punto

3. Siano e x le distanze dell'afelio e del perielio dal centro della nube per cui risulterà che il semiasse maggiore dell'ellisse percorsa sarà con l'origine degli assi di riferimento appunto a metà dell'asse maggiore dell'ellisse. Chiaramente si conservano sia il momento angolare fra afelio e perielio sia l'energia meccanica. Usando le relazioni di cui al precedente post saranno
=

dove è la velocità al perielio, la massa vista dall'afelio e la massa vista dal perielio. Facendo i conti complicati algebricamente, si può eliminare ad ambo i membri della risolvente la quantità diversa da 0. Avrei ottenuto
se non ho sbagliato il conto. Il perielio, e quindi x, rappresenta il richiesto punto della traiettoria in cui la particella m è più vicina al centro della nube.

4. Si possono calcolare i semiassi dell'ellisse a,b e la distanza focale c. Risulta
Per il teorema di Keplero con al posto di abbiamo da cui si intuisce la conseguenza fondamentale: essendo entrambi proporzionali a il periodo risulterà indipendente da , sarà uguale per tutte le particelle e quindi esisterà il periodo della nube. Mi risulta infatti


5. Si è visto che il no-shell crossing implica l'esistenza di un periodo della nube. Viceversa se esiste il periodo della nube deve accadere che non ci possono essere attraversamenti: l'ellisse percorsa per deve rimanere sempre esterna all'altra senza attraversarla cioè negli istanti successivi. Deve insomma verificarsi la consistenza del no-shell crossing.

6. Data una particella di massa m la sua velocità media è notoriamente quella velocità costante con cui essa percorrerebbe lo stesso spazio (il perimetro dell'ellisse L) nello stesso tempo (il periodo T). Siccome il perimetro cresce con anche la velocità media dovrà fare altrettanto. Infatti
dove una formula molto approssimata fornisce (per a=b=r si avrebbe la lunghezza della circonferenza). Abbiamo in conclusione, fatti salvi i miei errori di calcolo
.
Speriamo che abbia commesso solo errori di calcolo e non di procedimento :?: :?:
Sarebbe interessante anche il caso

DeoGratias
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Re: 289 - Nube di gas

Messaggio da DeoGratias » 1 feb 2022, 15:53

roncu ha scritto: 31 gen 2022, 18:32 3. Siano e x le distanze dell'afelio e del perielio dal centro della nube per cui risulterà che il semiasse maggiore dell'ellisse percorsa sarà con l'origine degli assi di riferimento appunto a metà dell'asse maggiore dell'ellisse. Chiaramente si conservano sia il momento angolare fra afelio e perielio sia l'energia meccanica. Usando le relazioni di cui al precedente post saranno
=

dove è la velocità al perielio, la massa vista dall'afelio e la massa vista dal perielio. Facendo i conti complicati algebricamente, si può eliminare ad ambo i membri della risolvente la quantità diversa da 0. Avrei ottenuto
se non ho sbagliato il conto. Il perielio, e quindi x, rappresenta il richiesto punto della traiettoria in cui la particella m è più vicina al centro della nube.
Il risultato ancora non è corretto, sei sicuro che la massa attrattiva al perielio sia quella che hai trovato tu? Per di più, per dovrebbe coincidere con , cosa che nella tua soluzione non si verifica.
roncu ha scritto: 31 gen 2022, 18:32 Per il teorema di Keplero con al posto di abbiamo da cui si intuisce la conseguenza fondamentale: essendo entrambi proporzionali a il periodo risulterà indipendente da , sarà uguale per tutte le particelle e quindi esisterà il periodo della nube. Mi risulta infatti
Anche questo risultato è sbagliato, non essendo corretto il valore del semiasse maggiore per quanto visto al punto precedente. Inoltre nota che la Terza legge di Keplero vale solo quando il campo gravitazionale corrisponde a quello generato da una particella puntiforme di massa , mentre non è compatibile con l'assunzione che hai fatto al punto 3, ovvero che la massa attrattiva vari al variare della distanza dal centro della nube.
roncu ha scritto: 31 gen 2022, 18:32 5. Si è visto che il no-shell crossing implica l'esistenza di un periodo della nube. Viceversa se esiste il periodo della nube deve accadere che non ci possono essere attraversamenti: l'ellisse percorsa per deve rimanere sempre esterna all'altra senza attraversarla cioè negli istanti successivi. Deve insomma verificarsi la consistenza del no-shell crossing.
Quello che dici è corretto, manca solo una cosa che a questo punto è bene specificare: come mai le orbite sono ellittiche?
roncu ha scritto: 31 gen 2022, 18:32 6. Data una particella di massa m la sua velocità media è notoriamente quella velocità costante con cui essa percorrerebbe lo stesso spazio (il perimetro dell'ellisse L) nello stesso tempo (il periodo T). Siccome il perimetro cresce con anche la velocità media dovrà fare altrettanto. Infatti
dove una formula molto approssimata fornisce (per a=b=r si avrebbe la lunghezza della circonferenza). Abbiamo in conclusione, fatti salvi i miei errori di calcolo
.
L'errore che commetti qui è supporre che l'energia cinetica media sia pari all'energia cinetica di una particella che si muove alla velocità media. La media temporale di una funzione su un intervallo di tempo è definita come , quindi il tuo procedimento ti consente di trovare , mentre ciò che ti serve è (per saperne di più, cerca Disuguaglianza AM-QM).
Lascio il suggerimento di provare a sfruttare le quantità conservate che conosci e l'equazione delle orbite :D

roncu
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Re: 289 - Nube di gas

Messaggio da roncu » 1 feb 2022, 18:34

Quando m è al perielio avevo scritto che "vede" una massa che è per me quella della nube compresa fra m e il centro della nube, come se fosse dentro la superficie terrestre. Credevo insomma di essere stato coerente con il mio post del 26/01 che tu dicevi essere la strada giusta. Evidentemente ho frainteso e quindi ho bisogno di riflettere ancora. Pertanto se altri (Luca) si vogliono fare avanti lo facciano pure perchè io non voglio che i miei personali bisogni blocchino il gioco per fair play! :D :roll:

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Re: 289 - Nube di gas

Messaggio da rick.17 » 1 feb 2022, 20:56

Scusate, è il mio primo intervento nel forum e non so scrivere bene le formule ma presto imparerò :)
Per questo ora cerco di esporre la mia soluzione del punto 3 con solo lo stretto necessario di formule.
Il momento angolare e l'energia meccanica si conservano, Li = Lf = 2r0^2 ed Ei = Ef
Credo che l'unico problema risulti adesso capire cosa considerare come massa al perielio.
Dato che le particelle non fanno shell-crossing e considerata la simmetria del problema e il teorema dei gusci sferici, ho pensato di supporre che la massa attrattiva al perielio sia uguale a quella all'afelio solo concentrata nella sfera più piccola di raggio x.
La conseguenza è che per me Ux = -(4π/3)Gρm(r0^3/x) (mentre U0 = -(4π/3)Gρmr0^2).

Risolvendo il sistema (se non ho sbagliato) viene Vx = 2r0 e x = r0

Spero sia corretto e leggibile.

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Re: 289 - Nube di gas

Messaggio da DeoGratias » 2 feb 2022, 11:44

rick.17 ha scritto: 1 feb 2022, 20:56 Scusate, è il mio primo intervento nel forum e non so scrivere bene le formule ma presto imparerò :)
Per questo ora cerco di esporre la mia soluzione del punto 3 con solo lo stretto necessario di formule.
Il momento angolare e l'energia meccanica si conservano, Li = Lf = 2r0^2 ed Ei = Ef
Credo che l'unico problema risulti adesso capire cosa considerare come massa al perielio.
Dato che le particelle non fanno shell-crossing e considerata la simmetria del problema e il teorema dei gusci sferici, ho pensato di supporre che la massa attrattiva al perielio sia uguale a quella all'afelio solo concentrata nella sfera più piccola di raggio x.
La conseguenza è che per me Ux = -(4π/3)Gρm(r0^3/x) (mentre U0 = -(4π/3)Gρmr0^2).

Risolvendo il sistema (se non ho sbagliato) viene Vx = 2r0 e x = r0

Spero sia corretto e leggibile.
Corretto, avanti così :D

roncu
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Re: 289 - Nube di gas

Messaggio da roncu » 2 feb 2022, 13:12

Voglio dare ancora un contributo poichè ho trovato l'errore di segno sull'energia potenziale che avevo messo positiva e con la massa che è giustamente sempre . Ho quindi ritrovato il corretto valore di Rick 17. Allora risultano, riprendendo la mia notazione con x distanza del perielio, se non ho sbagliato i conti ma per viene la cfr.
Allora indipendente da come T che rappresenta quindi il periodo della nube cioè .
Per il punto 5. posso ora ribadire il post precedente? :?: :?: Mi manca il punto 6 cui sto pensando... :?:
Ultima modifica di roncu il 4 feb 2022, 11:05, modificato 1 volta in totale.

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Re: 289 - Nube di gas

Messaggio da DeoGratias » 3 feb 2022, 16:38

roncu ha scritto: 2 feb 2022, 13:12 Voglio dare ancora un contributo poichè ho trovato l'errore di segno sull'energia potenziale che avevo messo positiva e con la massa che è giustamente sempre . Ho quindi ritrovato il corretto valore di Rick 17. Allora risultano, riprendendo la mia notazione con x distanza del perielio, se non ho sbagliato i conti ma per viene la cfr.
Allora indipendente da come T che rappresenta quindi il periodo della nube cioè .
Per il punto 5. posso ora ribadire il post precedente? :?: :?: Mi manca il punto 6 cui sto pensando... :?:
Penso ti sia dimenticato un al penultimo passaggio (il risultato corretto è ), ma per il resto ci siamo.
Per quanto riguarda il 5, l'unica cosa che mancava alla tua discussione era la considerazione sul Teorema del guscio, necessaria per poter affermare che le orbite sono ellittiche, che ha già fatto @rick.17, quindi direi che anche quel punto può considerarsi chiuso.
Lascio un integrale che, a seconda del vostro procedimento, potrebbe tornarvi utile per il punto 6:

roncu
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Re: 289 - Nube di gas

Messaggio da roncu » 4 feb 2022, 12:47

ho trovato una soluzione che non so se è giusta :?: e che usa il tuo integrale però con a e con c. Siccome oggi non ho tempo la posterò domani. :D

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