287 - Dipolo in un campo magnetico

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DeoGratias
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287 - Dipolo in un campo magnetico

Messaggio da DeoGratias » 8 gen 2022, 19:25

Un dipolo, costituito da due particelle di massa e carica , unite da un'asta rigida di lunghezza e massa trascurabile, viene inserito in un campo magnetico uniforme e costante . Sia la posizione del centro di massa, un vettore di modulo diretto dalla carica negativa a quella positiva e la velocità angolare del dipolo.
Nel moto del dipolo non si conserva la quantità di moto totale , ma una sua forma modificata, . Qual è questo vettore?

Supponiamo ora che e che per il centro di massa sia a riposo nell'origine, punti lungo e .

Per minore di un certo valore critico il dipolo non riesce a compiere una rotazione completa su se stesso. Quanto vale ?
Qual è la massima distanza lungo l'asse raggiungibile dal centro di massa?

Luca Milanese
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Re: 287 - Dipolo in un campo magnetico

Messaggio da Luca Milanese » 10 gen 2022, 21:55

Poichè la lunghezza di è fissa, si ha:

La velocità di ciascuna carica è allora:

Perciò la forza agente su ciascuna è:

La forza totale risulta
Per la Seconda Legge di Newton:


Dall'espressione della forza su ciascuna carica si deduce inoltre che, se inizialmente il dipolo è perpendicolare al campo magnetico, e la sua velocità angolare è ad esso parallela, allora il moto del dipolo si svolgerà sempre in un piano perpendicolare a e la sua velocità angolare sarà costante in direzione. Essendo questo il caso del problema, scrivo e , dove è l'angolo fra e l'asse delle ascisse. Inoltre scrivo .
Per la conservazione di si ha:


Per la conservazione dell'energia, essendo il momento d'inerzia del dipolo attorno a un asse parallelo a e passante per il suo centro di massa:

Si trova così:

Il dipolo riesce a compiere una rotazione se si ha per ogni angolo :

Il massimo valore del membro di destra al variare di è , perciò:

Derivando rispetto al tempo la conservazione dell'energia si ottiene inoltre:

Sostituendo nell'espressione di :

Integrando:

Perciò la massima distanza lungo si raggiunge quando assume il suo minimo valore. Da quanto visto sopra, se , si ha:

Se , allora durante la rotazione del dipolo si annulla e passa a valori negativi, fino al minimo valore , perciò in questo caso:

Infine, se , si ha:

Questa equazione differenziale si risolve esplicitamente con la sostituzione :


Perciò il valore minimo di in questo caso è , che viene raggiunto solo dopo un tempo infinito. Si ha quindi:
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DeoGratias
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Re: 287 - Dipolo in un campo magnetico

Messaggio da DeoGratias » 11 gen 2022, 0:24

Il risultato è corretto. Mi sembra che tu abbia sbagliato un segno nell'ultimo passaggio per trovare , ma ovviamente il resto è giusto. A te il prossimo!
Il problema è tratto dalle APhO 2001

Luca Milanese
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Re: 287 - Dipolo in un campo magnetico

Messaggio da Luca Milanese » 11 gen 2022, 0:51

Forse mi sfugge qualcosa, ma ho cambiato l'ordine di e nel prodotto vettoriale spostandolo all'altro membro, quindi mi pare che il segno torni.
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DeoGratias
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Re: 287 - Dipolo in un campo magnetico

Messaggio da DeoGratias » 17 gen 2022, 15:53

Sì, errore mio :roll:

DeoGratias
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Re: 287 - Dipolo in un campo magnetico

Messaggio da DeoGratias » 22 mag 2022, 21:23

This aged well.

Luca Milanese
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Re: 287 - Dipolo in un campo magnetico

Messaggio da Luca Milanese » 24 mag 2022, 11:51

DeoGratias ha scritto:
22 mag 2022, 21:23
This aged well.
Quanta verità.
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